Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolna rzeczywista macierzą kwadratowa wymiaru \(\displaystyle{ n\times n}\). Czy warunki:

a) istnieją macierze (rzeczywiste) nieosobliwe \(\displaystyle{ P,Q}\) takie, ze \(\displaystyle{ Q^{-1}AP}\) jest macierzą
diagonalną.
b) macierz \(\displaystyle{ A}\) ma \(\displaystyle{ n}\) różnych wartości własnych

gwarantują diagonalizowalność macierzy \(\displaystyle{ A}\)?

Jeśli chodzi o (b), to wydaje mi się że gwarantują, bo skoro wielomian charakterystyczny ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków, to macierz powinna być diagonalizowalna. Chyba że w domyśle w punkcie b) mogą być zespolone, a potrzebujemy w ciele \(\displaystyle{ R}\).

A co z punktem a)?

(b) Dobrze.

(a) \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}\) jest diagonalna, ale \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}\) się nie diagonalizuje.