Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolna rzeczywista macierzą kwadratowa wymiaru \(\displaystyle{ n\times n}\). Czy warunki:
a) istnieją macierze (rzeczywiste) nieosobliwe \(\displaystyle{ P,Q}\) takie, ze \(\displaystyle{ Q^{-1}AP}\) jest macierzą
diagonalną.
b) macierz \(\displaystyle{ A}\) ma \(\displaystyle{ n}\) różnych wartości własnych
gwarantują diagonalizowalność macierzy \(\displaystyle{ A}\)?
Jeśli chodzi o (b), to wydaje mi się że gwarantują, bo skoro wielomian charakterystyczny ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków, to macierz powinna być diagonalizowalna. Chyba że w domyśle w punkcie b) mogą być zespolone, a potrzebujemy w ciele \(\displaystyle{ R}\).
A co z punktem a)?
Warunki diagonalizowalności macierzy.
-
- Użytkownik
- Posty: 207
- Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Mielec
- Podziękował: 14 razy
Warunki diagonalizowalności macierzy.
Ostatnio zmieniony 5 cze 2019, o 14:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Warunki diagonalizowalności macierzy.
(b) Dobrze.
(a) \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}\) jest diagonalna, ale \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}\) się nie diagonalizuje.
(a) \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}\) jest diagonalna, ale \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}\) się nie diagonalizuje.