Warunki diagonalizowalności macierzy.

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
tangerine11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 23 paź 2015, o 12:31
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Mielec
Podziękował: 14 razy

Warunki diagonalizowalności macierzy.

Post autor: tangerine11 » 5 cze 2019, o 13:08

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolna rzeczywista macierzą kwadratowa wymiaru \(\displaystyle{ n\times n}\). Czy warunki:

a) istnieją macierze (rzeczywiste) nieosobliwe \(\displaystyle{ P,Q}\) takie, ze \(\displaystyle{ Q^{-1}AP}\) jest macierzą
diagonalną.
b) macierz \(\displaystyle{ A}\) ma \(\displaystyle{ n}\) różnych wartości własnych

gwarantują diagonalizowalność macierzy \(\displaystyle{ A}\)?

Jeśli chodzi o (b), to wydaje mi się że gwarantują, bo skoro wielomian charakterystyczny ma \(\displaystyle{ n}\) pierwiastków, to macierz powinna być diagonalizowalna. Chyba że w domyśle w punkcie b) mogą być zespolone, a potrzebujemy w ciele \(\displaystyle{ R}\).

A co z punktem a)?
Ostatnio zmieniony 5 cze 2019, o 14:10 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9111
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1969 razy

Re: Warunki diagonalizowalności macierzy.

Post autor: Dasio11 » 5 cze 2019, o 19:32

(b) Dobrze.

(a) \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}\) jest diagonalna, ale \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}\) się nie diagonalizuje.

ODPOWIEDZ