Znaleźć bazę i klatkę Jordana

[El3na]

\(\displaystyle{ A = \left[
\begin{array}{cccc}
0 & 4 & 0 & 0 \\
-1 & 4 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 4 & -1 \\
1 & -1 & 4 & 0 \\
\end{array}
\right]}\)

Wielomian charakterystyczny : \(\displaystyle{ w(\lambda)= (\lambda - 2)^{4} \to \lambda = 2}\).
\(\displaystyle{ A -2I= \left[
\begin{array}{cccc}
-2 & 4 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 2 & -1 \\
1 & -1 & 4 & -2 \\
\end{array}
\right]}\) i tutaj wektorem własnym jest \(\displaystyle{ (0,0,1,2)}\) więc \(\displaystyle{ N_{2}^{(1)} = Lin\{(0,0,1,2)\}}\) dalej \(\displaystyle{ (A-2I)^{2} = \left[
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]}\) i tutaj nie rozumiem dlaczego w odpowiedzi jest,że \(\displaystyle{ N_{2}^{(2)} = Lin\{(0,0,1,2),(0,0,1,1)\}}\) natomiast mi wychodzi,że są 2 wektory własne \(\displaystyle{ (0,0,1,0),(0,0,0,1)}\) więc \(\displaystyle{ N_{2}^{(2)} = Lin\{(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}}\), nie wiem gdzie jest błąd :/

[MrCommando]

Jądro przekształcenia \(\displaystyle{ (A-2I)^2}\) ma istotnie wymiar \(\displaystyle{ 2}\), ale w porównaniu do wymiaru jądra przekształcenia \(\displaystyle{ A-2I}\) ten wymiar jest większy o jeden, więc wszystko się zgadza i z bazy przestrzeni \(\displaystyle{ \mbox{ker} (A-2I)^2}\) potrzebny nam jeden wektor. Potem z bazy jądra \(\displaystyle{ (A-2I)^3}\) też jeden i tak dalej. Najlepiej to widać jak się policzy rzędy odpowiednich macierzy i zobaczy jak się wymiary układają.

Najwygodniej bazy Jordana szukać od końca. Mamy \(\displaystyle{ \mbox{rank} (A-2I)=3}\), \(\displaystyle{ \mbox{rank} (A-2I)^2 =2}\), \(\displaystyle{ \mbox{rank} (A-2I)^3=1}\) oraz \(\displaystyle{ \mbox{rank} (A-2I)^4=0}\). Zatem \(\displaystyle{ \mbox{dim ker} (A-2I)^4=4}\), czyli widać, że będziemy mieć jedną klatkę Jordana wymiaru \(\displaystyle{ 4x4}\). Możemy wziąć na przykład \(\displaystyle{ v_1=\left[1,0,0,0\right]^T \in \mbox{ker} (A-2I)^4}\) (tu trzeba uważać, żeby nie wziąć wektora z \(\displaystyle{ \ker (A-2I)^3}\)). Dalej \(\displaystyle{ v_2=(A-2I)(v_1)=\left[-2,-1,1,1\right]^T}\), potem \(\displaystyle{ v_3=(A-2I)(v_2)=\left[0,0,0,1\right]^T}\) i na koniec \(\displaystyle{ v_4=(A-2I)(v_3)=\left[0,0,-1,-2\right]^T}\).

Zatem ostatecznie mamy bazę Jordana i jest to układ \(\displaystyle{ J=\left(v_1,v_2,v_3,v_4\right)}\).