Zbadać określoność formy kwadratowej

[Izab321]

Zbadać jak określone są poniższe formy kwadratowe
a)\(\displaystyle{ f(x _{1},x _{2},x _{2}) =x _{1} ^{2}-4x _{1}x _{2}+4x _{1}x _{3}-4x _{3} ^{2}}\)
b)\(\displaystyle{ f(x _{1},x _{2},x _{2}) =x _{1} ^{2}+4x _{1}x _{2}+10x _{1}x _{3}+2x _{2}x _{3} +5x _{2} ^{2} +2x _{3} ^{2}}\)

W pierwszym przykładzie wyszło mi \(\displaystyle{ A _{1}=1, A _{2}=4, A _{3}=-16}\) a wiem tylko, że gdyby były wszystkie dodatnie to byłaby dodatnio określona , a jeśli ujemne i dodatnie na przemian to ujemnie określona . Co w takim przypadku da się jakoś inaczej to rozstrzygnąć?

[janusz47]

Sprowadzając macierz formy do postaci trójkątnej górnej:

\(\displaystyle{ \det A_{1} = 1, \ \ \det A_{2} = -4, \ \ \det A_{3}= 16, \ \ (+ - +)}\)- macierz ujemnie określona.

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \det A_{1} = 1, \ \ \det A_{2} = -4, \ \ \det A_{3}= 16, \ \ (+ - +)}\)- macierz ujemnie określona.

Byłaby ujemnie określona, gdyby ciąg znaków zaczynał się od minusa i był naprzemienny, a zaczyna się od plusa. W tej sytuacji sygnatura formy to \(\displaystyle{ (1, 2)}\), czyli forma jest nieokreślona.

[Izab321]

Ale czy to nie będzie tak, że wyznaczniki będą różne w zależności od tego jak sprowadzę tą macierz do postaci trójkątnej np zamienie wiesz 2 z pierwszym i pierwszy wyznacznik już będzie inny. Więc dlaczego można sprowadzać do postaci trójkątnej w ogóle ?

[janusz47]

Przekształcenia elementarne wykonujemy na wierszach macierzy nie na jej wyznacznikach. Postać trójkątna macierzy pozwala łatwo obliczać jej wyznaczniki.

Rzeczywiście w ujemnej określoności formy kwadratowej -wyznacznik pierwszego rzędu musi mieć wartość ujemną.