Macierz przekształcenia pomiędzy przestrzeniami wielomianów

[matrix2]

Niech \(\displaystyle{ g: \RR_{1} [x] \rightarrow \RR_{2}[x]}\) będzie przekształceniem liniowym spełniającym zależności:
\(\displaystyle{ g(8x+2)= 16x^{2} + 5x -1 \\
g(6x+3)= 12x^{2} + 7x -1}\)
Znaleźć macierze przekształcenia \(\displaystyle{ g}\) względem baz \(\displaystyle{ \{6,12x\}}\) \(\displaystyle{ \RR_{1} [x]}\) oraz \(\displaystyle{ \{x-1, 6x, 12x^{2}\}}\) w \(\displaystyle{ \RR_{2} [x]}\).
Mam problem z tym zadaniem. Potrafię znaleźć macierz pomiędzy przestrzeniami wektorowymi, ale totalnie nie wiem jak się za to zabrać przy przestrzeniach wielomianów. Proszę o pomoc.

[a4karo]

Patrz na wielomian \(\displaystyle{ ax^2+bx+c}\) jak na wektor \(\displaystyle{ (a, b, c)}\)

[matrix2]

1) \(\displaystyle{ 2g(6x+3)=24x^{2} +14x -2}\), czyli wektor bazy \(\displaystyle{ \RR_{1}}\) przechodzi w wektor \(\displaystyle{ g(12x+6)=24x^{2} +14x -2}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR_{2}}\).

2) \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&d\\b&e\\c&f\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}6\\12\end{array}\right] = \begin{bmatrix} 2\\12\\24\end{bmatrix}}\) oraz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a&d\\b&e\\c&f\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}2\\8\end{array}\right] = \begin{bmatrix} 1\\4\\16\end{bmatrix}}\)

Rozwiązując to otrzymuję \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{6}&\frac{1}{12}\\2&0\\0&2\end{array}\right]}\)

[a4karo]

Nie. Wektor \(\displaystyle{ 6+12x}\) nie jest wektorem [6,12] w bazie \(\displaystyle{ 6,12x}\).

Podobnie wektor \(\displaystyle{ 12x^2+7x-1}\) w bazie
\(\displaystyle{ x-1,6x,12x^2}\) wygląda inaczej

[Dasio11]

Najprościej skorzystać z faktu: jeśli \(\displaystyle{ U, V, W}\) są przestrzeniami liniowymi o bazach \(\displaystyle{ \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}}\) odpowiednio oraz \(\displaystyle{ g : U \to V, f : V \to W}\) są przekształceniami liniowymi, to \(\displaystyle{ m_{\mathcal{D}}^{\mathcal{B}}(f \circ g) = m_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}}(f) \cdot m_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}(g).}\)

[matrix2]

\(\displaystyle{ 8x+2=a12x+b6 \\ 6x+3=c12x+d6 \\}\)

otrzymuję \(\displaystyle{ a= \frac{8}{12}, b= \frac{1}{3}, c= \frac{1}{2}, d= \frac{1}{2}}\)

Korzystam z liniowości przekształcenia
\(\displaystyle{ g(8x+2)=g( \frac{8}{12} 12x+ \frac{1}{3} 6)= \frac{8}{12} g(12x)+ \frac{1}{3} g(6) \\ g(6x+3)= \frac{1}{2} g(12x) + \frac{1}{2} g(6),
\\}\)

Rozwiązując to względem \(\displaystyle{ g(12x) \ oraz \ g(6)}\):

\(\displaystyle{ g(12x)= 24x^{2}+x-1 \\ g(6)=13x-1}\)

Wyrażamy to w wektorach bazy \(\displaystyle{ R_{2}}\):

\(\displaystyle{ g(6)=0(12x^{2} )+2(6x)+1(x-1)\\ g(12x)= 2(12x^{2} )+0(6x)+1(x-1)}\)

Wtedy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&1\\2&0\\0&2\end{bmatrix}}\)

Czyt tak?

[a4karo]

Tak