Wyznacz współrzędne podanych wektorów w dowolnej bazie B

[nsaker]

podanej przestrzeni wektorowej (wyznacz tę bazę):

\(\displaystyle{ V={q \in R _{4}[x]: q(0)=q(1)}, p= x^{3}-2 x^{2}+x+3}\)

nie wspominając że jestem zielony w temacie baz, czy ktoś mógłby podać rozwiązanie czy chociaż nakierować od czego zacząć?

[MrCommando]

Weźmy dowolny \(\displaystyle{ q\in \mathbb{R}_4[x]}\). Wtedy istnieją \(\displaystyle{ a_4,a_3,a_2,a_1,a_0\in\mathbb{R}}\) takie, że \(\displaystyle{ q(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0}\). Jeżeli \(\displaystyle{ q\in V}\), to \(\displaystyle{ a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=a_0}\), skąd \(\displaystyle{ a_4=-a_3-a_2-a_1}\). Zatem \(\displaystyle{ q(x)=a_3(x^3-x^4)+a_2(x^2-x^4)+a_1(x-x^4)+a_0.}\). I jaki wniosek z tego?

[nsaker]

Że jest baza w przestrzeni 3 wymiarowej? I teraz mam wyznaczyć a1 itd. przez przyrównanie?

[MrCommando]

Nie widzę tutaj żadnej przestrzeni trójwymiarowej. Co to znaczy wyznaczyć \(\displaystyle{ a_1}\)? I po co? Odpowiedź do zadania jest praktycznie podana wyżej. Przypomnij sobie raz jeszcze czym jest baza przestrzeni liniowej. Wiesz do czego mamy dojść w tym zadaniu?