Postac kanoniczna formy kwadratowej

[Izab321]

Mam sprowadzić formę kwadratową do postaci kanonicznej metodą przekształceń ortogonalnych
\(\displaystyle{ f \left( x,y \right) =\sum_{i,j=1}^{4} x _{i}y _{j} \left( =\sum_{i=1}^{4} \left( \sum_{j=1}^{4}x _{i}y _{j} \right) \right)}\) -to jest forma dwuliniowa

Wyliczyłam formę kwadratową i wyszło:
\(\displaystyle{ g(x)=x _{1} ^{2}+x _{2} ^{2}+x _{3} ^{2}+x _{4} ^{2}+2x _{1}x _{2}+2x _{1}x _{3}+2x _{1}x _{4}+2x _{2}x _{3}+2x _{2}x _{4}+2x _{3}x _{4}}\) -czy to jest dobrze?

Potem stworzyłam macierz tej formy kwadratowej :
\(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\\1&1&1&1\end{array}\right]}\)

Obliczyłam wartości własne \(\displaystyle{ 0}\) -krotności 3 i \(\displaystyle{ 4}\)- krotności 1

Problem polega w tym , że baza złozona z wektorów własnych dla \(\displaystyle{ 0}\) wyszła \(\displaystyle{ B=\{(-1,1,0,0),(-1,0,1,0),(-1,0,0,1)\}}\) tylko że one nie są ortogonalne a przecież powinny być , nie mam pojęcia gdzie zrobiłam błąd sprawdzałam już kilka razy . Może ten wzór z sumowaniem źle zinterpretowałam

[janusz47]

Skąd mogły wyjść same kwadraty \(\displaystyle{ x _{1} ^{2}+x _{2} ^{2}+x _{3} ^{2}+x _{4} ^{2}?}\)

[Izab321]

Bo \(\displaystyle{ f(x,y)}\) wyszło mi
\(\displaystyle{ f(x,y)= x _{1}y _{1}+x _{1}y _{2}+x _{1}y _{3}+x _{1}y _{4}+x _{2}y _{1}+x _{2}y _{2}+x _{2}y _{3}+x _{2}y _{4}+x _{3}y _{1}+x _{3}y _{2}+x _{3}y _{3}+x _{3}y _{4}+x _{4}y _{1}+x _{4}y _{2}+x _{4}y _{3}+x _{4}y _{4}}\)

Zatem

\(\displaystyle{ g(x)=f(x,x)=x _{1} ^{2}+x _{2} ^{2}+x _{3} ^{2}+x _{4} ^{2}+2x _{1}x _{2}+2x _{1}x _{3}+2x _{1}x _{4}+2x _{2}x _{3}+2x _{2}x _{4}+2x _{3}x _{4}}\)


Źle coś robię ?

[janusz47]

Formę kwadratową odpowiadającą danej formie dwuliniowej utworzyłaś poprawnie.

Macierz formy skonstruowałaś poprawnie.

Wielomian charakterystyczny macierzy formy:

\(\displaystyle{ w(\lambda) = \lambda^4- \lambda^3 = \lambda^3(\lambda-1) =0}\)
określiłaś poprawnie.

Jak obliczyłaś wektory własne, odpowiadające wartościom własnym \(\displaystyle{ \lambda_{1} = 0^{3}, \ \ \lambda_{2}=1^1?}\)

[Izab321]

Dla \(\displaystyle{ \lambda_{1} = 0^{3}}\) odjęłam \(\displaystyle{ 0}\) na przekątnej , więc została macierz złożona z samych 1. Odjęłam od wiersza 2,3,4, wiersz 1 i wyzerowały się i rozwiązałam układ równań \(\displaystyle{ x+y+z+t=0}\) wyliczyłam \(\displaystyle{ x=-y-z-t}\) i wektory to \(\displaystyle{ {(-y-z-t,y,z,t)}}\)wyciągam kolejno \(\displaystyle{ y,z,t}\) i otrzymuje wektory własne takie jak podałam wyżej .

[janusz47]

Tak by było, gdyby \(\displaystyle{ \lambda = 0}\) odpowiadało wartości własnej o krotności jeden , a nie trzy.

[Izab321]

Nie rozumiem , czyli co jest źle? wyszły trzy wektory własne i zgadza się to z krotnością przecież tylko problem w tym że one nie są ortogonalne a powinny prawda?

[Rafsaf]

Dlaczego powinny być ortogonalne? Pokażę na innym, może prostszym przykładzie co zrobiłaś:

Wyobraź sobie przestrzeń \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\).
Wybrałaś randomowo, całkowicie byle jak trzy liniowo niezależne wektory z tej przestrzeni. Dlaczego miały by one wszystkie być do siebie prostopadłe?

[janusz47]

Nic nie wybieramy "randomowo"?

Z treści zadania jasno wynika, że mamy sprowadzić konkretną formę kwadratową o konkretnej macierzy \(\displaystyle{ M}\) do postaci kanonicznej - metodą przekształceń ortogonalnych.

Należy skorzystać z następującego twierdzenia:

" Wektory własne odpowiadające różnym wartością własnym macierzy symetrycznej są ortogonalne".

Macierz formy \(\displaystyle{ f(x,x)}\) złożona z samych jedynek jest macierzą symetryczną, więc jej wektory własne są ortogonalne.

Ponadto, jeśli macierz \(\displaystyle{ M}\) jest rzeczywistą macierzą symetryczną i \(\displaystyle{ \lambda_{i} \neq \lambda_{j}}\) są różnymi wartościami własnymi, to podprzestrzenie własne są wzajemnie ortogonalne \(\displaystyle{ V_{\lambda_{i}} \perp V_{\lambda_{j}.}\)

[Rafsaf]

Przeczytałeś co napisałem?

Napisałem co zostało zrobione źle, gdzie był błąd w rozumowaniu...

Otóż w sposób jak myślałem przystępny(jak widać myliłem się), zasygnalizowałem, że w ogólności
istnieje \(\displaystyle{ \neq}\) dla każdego

[Dasio11]

Problem polega w tym , że baza złozona z wektorów własnych dla \(\displaystyle{ 0}\) wyszła \(\displaystyle{ B=\{(-1,1,0,0),(-1,0,1,0),(-1,0,0,1)\}}\) tylko że one nie są ortogonalne a przecież powinny być , nie mam pojęcia gdzie zrobiłam błąd sprawdzałam już kilka razy.

Błędu nie ma, ale musisz jeszcze zortogonalizować tę bazę, np.

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Ortogonalizacja_Grama-Schmidta

. Tak jak napisał Rafsaf, jeśli wybierzesz bazę pojedynczej przestrzeni własnej na chybił-trafił, to nie ma powodu, dla którego miałaby ona być ortogonalna. Tylko wektory z różnych przestrzeni własnych będą automatycznie ortogonalne.