Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Izab321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy

Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Post autor: Izab321 »

Sprowadź formę \(\displaystyle{ g}\) do postaci kanonicznej metodą Lagrange'a i Jacobiego.
a) \(\displaystyle{ g(v)=4 x^{2}-4xy-8xz+4yz+ y^{2}-3 z^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ g(v)=x ^{2}+2xy-4xz+2yz+z ^{2}}\)

Co do metody Lagrange'a to mniej więcej znam schemat tylko nie mam pomysłu jak pogrupować te wyrażenia.
Ostatnio zmieniony 28 maja 2019, o 16:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ g(v)=4 x^{2}-4xy - 8xz+4yz+ y^{2}-3 z^{2}}\)

Metoda Carla Jacobi

Postać kanoniczna formy kwadratowej

\(\displaystyle{ g_{k}(\vec{v}) = \frac{1}{\Delta_{1}}x^2 + \frac{\Delta_{1}}{\Delta_{2}}y^2 + \frac{\Delta_{2}}{\Delta_{3}}z^2}\)

Znajdujemy macierz formy kwadratowej

\(\displaystyle{ M(\vec{v}) = \left[\begin{matrix} 4&-2&-4\\-2&1&2\\-4&2&-3 \end{matrix}\right]}\)

Znajdujemy postać trójkątną górną macierzy formy kwadratowej.

W tym celu mnożymy wiersz pierwszy przez \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ M'(\vec{v}) = \left[\begin{matrix} 1&-\frac{1}{2}&-1\\-2&1&2\\-4&2&-3 \end{matrix}\right]}\)

Wiersz pierwszy mnożymy przez \(\displaystyle{ 2}\) i dodajemy do wiersza drugiego

Wiersz pierwszy mnożymy przez \(\displaystyle{ 4}\) i dodajemy do wiersza czwartego

\(\displaystyle{ M''(\vec{v}) = \left[\begin{matrix} 1&-\frac{1}{2}&-1\\0&0&0\\0&0&-7 \end{matrix}\right]}\)

Z postaci macierzy \(\displaystyle{ M''}\) wynika, że \(\displaystyle{ \Delta_{1}=1, \ \ \Delta_{2}=0, \ \ \Delta_{3}= -7.}\)
i
\(\displaystyle{ det(M(g(\vec{v})) = 0}\) - forma kwadratowa jest zdegenerowana.

Więć postać kanoniczna formy kwadratowej

\(\displaystyle{ g_{k}(\vec{v}) = x^2 - \frac{1}{7}z^2 = x^2 - 7z^2}\)

Podpunkt b) - podobnie w tym przypadku \(\displaystyle{ det(M(g(\vec{v})) \neq 0.}\)
Ostatnio zmieniony 29 maja 2019, o 20:50 przez janusz47, łącznie zmieniany 4 razy.
Izab321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy

Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Post autor: Izab321 »

Dzięki , a jak to z Lagrange'a zrobić ? Jak rozłożyć te wyrażenia żeby były kwadraty ?
Ostatnio zmieniony 29 maja 2019, o 17:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Post autor: janusz47 »

Metoda Lagrange'a

\(\displaystyle{ g(\vec{v}) = 4x^2 -4xy -8xz +4yz +y^2 -3z^2}\)

\(\displaystyle{ g(\vec{v}) = (4x^2 -4xy +y^2) + 3z^2 +4yz -8xz = (2x -y)^2 - 8xz - 4yz +4z^2 -7z^2=\\
=(2x - y -2z)^2 - 7z^2 = x'^2 - 7z'^2.}\)


Korzystaliśmy z tożsamości

\(\displaystyle{ (a -b -c)^2 = a^2 +b^2 +c^2 - 2ab -2bc -2ac}\)

i podstawień:

\(\displaystyle{ 2x -y -2z := x',}\)

\(\displaystyle{ z:= z'.}\)
Ostatnio zmieniony 29 maja 2019, o 17:13 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Izab321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy

Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Post autor: Izab321 »

Rozumiem , a ten drugi przykład jak rozpisać ? Wiesz może ?
Ostatnio zmieniony 29 maja 2019, o 17:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Post autor: janusz47 »

Może troszkę własnej samodzielności.

1.Metoda Jacobi

Napisz macierz formy kwadratowej \(\displaystyle{ M (g(\vec{v})}\)

Sprowadź macierz formy kwadratowej do postaci trójkątnej górnej, wykonując przekształcenia Gaussa-Jordana na jej wierszach.

Oblicz wartości wyznaczników \(\displaystyle{ \Delta_{1}, \ \ \Delta_{2}. \ \ \Delta_{3}}\)

Podstaw do wzoru

\(\displaystyle{ g_{k}(\vec{v}) = \frac{1}{\Delta_{1}}x^2 + \frac{\Delta_{1}}{\Delta_{2}}y^2 + \frac{\Delta_{2}}{\Delta_{3}}z^2.}\)
Izab321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy

Re: Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Post autor: Izab321 »

Rozumiem te metody, wiem jak robić chciałam tylko żebyś poddał pomysł jak rozpisać podpunkt b) do Lagrange'a jakiś wzór skróconego mnożenia? , bo ja nie wpadłam na nic
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Post autor: janusz47 »

\(\displaystyle{ g(\vec{v}) = x^2 +2xy -4xz +2yz +z^2}\)

Metoda Lagrange'a

Grupuje składniki formy zawierające jedną ze zmiennych na przykład \(\displaystyle{ x}\)

\(\displaystyle{ g(\vec{v})= ( x^2 +2xy -4xz) +z^2 +2yz}\)

Uzupełniamy sumę \(\displaystyle{ (x^2 +2xy -4xz )}\)

do pełnego kwadratu:

\(\displaystyle{ (x +y -2z)^2 = (x+y)^2 -2(x+y)2z + (2z)^2 = ( x^2 +2xy +y^2 -4xz -4yz +4z^2 ) +4yz -4z^2}\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ g(\vec{v}) = (x + y - 2z)^2 +4yz -4z^2 +z^2 +2yz =(x+ y -2z)^2 -3z^2+2yz}\)

Uzupełniamy pozostałą sumę \(\displaystyle{ -3z^2 +2yz}\) do pełnego kwadratu:

\(\displaystyle{ -3z^2 +2yz = -3\left( z^2 -\frac{2}{3}yz \right) = -3\left(z^2 -2\frac{2}{6}yz + \frac{1}{9}y^2 -\frac{1}{9}y^2 \right) = -3\left( z -\frac{1}{3}y\right)^2 + \\ +\frac{1}{3}y^2}\)

Mamy

\(\displaystyle{ g(\vec{v}) = (x +y -2z)^2 + \frac{1}{3}y^2 -3 \left( z -\frac{1}{3}y\right)^2}\)

Wprowadzamy nowe zmienne:

\(\displaystyle{ x' = x+y -2z, \ \ y' = y, \ \ z' = z -\frac{1}{3}y,}\)

otrzymując postać kanoniczną formy:

\(\displaystyle{ g_{k}(\vec{v}) = x'^2 +\frac{1}{3} y'^2 -3z'^2.}\)
Izab321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 94
Rejestracja: 27 maja 2019, o 15:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy

Re: Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Post autor: Izab321 »

Wracając do metody Jacobiego , co w wypadku gdy niektóre minory są równe 0 ? jak w przykładzie a)
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej

Post autor: janusz47 »

Metoda Jacobi nie działa. Wypisujemy wartości własne różne od zera z diagonali macierzy w postaci trójkątnej górnej i tworzymy sumę iloczynów tych wartości i kwadratów odpowiadających im zmiennych.
ODPOWIEDZ