Witam wszystkich,
na wstępie chciałem zaznaczyć, że nie jestem matematykiem, a poniższy problem powstał ostatnio "z nudów"
Zaczęło się od próby zdefiniowania ogólnego zapisu funkcji \(\displaystyle{ F(c)}\), która jest oparta o model iteracyjny, tzn.:
\(\displaystyle{ F(c)= \frac{c \cdot a_{0}+b_{0}}{a_{0}+c \cdot b_{0}}}\)
gdzie parametr \(\displaystyle{ b}\) może zostać rozwinięty następująco:
\(\displaystyle{ b_{0}= \frac{c \cdot a_{1}+b_{1}}{a_{1}+c \cdot b_{1}}, \ b_{1}= \frac{c \cdot a_{2}+b_{2}}{a_{2}+c \cdot b_{2}}, \ ...\ , b_{n}= \frac{c \cdot a_{n+1}+b_{n+1}}{a_{n+1}+c \cdot b_{n+1}}}\)
Korzystając z metody podstawień do \(\displaystyle{ F(c)}\), dla \(\displaystyle{ b_{0}, b_{1}}\) można dojść do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ F(c)= \frac{c \cdot a_{0}+\frac{c \cdot a_{1}+\frac{c \cdot a_{2}+b_{2}}{a_{2}+c \cdot b_{2}}}{a_{1}+c \cdot \frac{c \cdot a_{2}+b_{2}}{a_{2}+c \cdot b_{2}}}}{a_{0}+c \cdot \frac{c \cdot a_{1}+\frac{c \cdot a_{2}+b_{2}}{a_{2}+c \cdot b_{2}}}{a_{1}+c \cdot \frac{c \cdot a_{2}+b_{2}}{a_{2}+c \cdot b_{2}}}}}\)
Oczywiście, mógłbym uprościć w takim momencie zapis do postaci, w której ułamek piętrowy nie występuje. Natomiast zacząłem kombinować jak będzie wyglądał wzór ogólny tej funkcji w przypadku, gdy "wchodzimy w nią coraz głębiej" - czyli gdy indeks \(\displaystyle{ n}\) rośnie. Pod pojęciem "kombinowania" mam na myśli przedstawienie funkcji w możliwie najelegantszy sposób - np. poprzez sprowadzenie do postaci funkcji wymiernej (wielomiany zależne od parametru \(\displaystyle{ n}\) zarówno w liczniku jak i mianowniku).
Pierwsza próba polegająca na operacjach typowo szkolnych - zwiększanie wspomnianego indeksu i redukcja "pięter" poprzez odpowiednie dobieranie potęg. Niestety - nie zauważyłem żadnego wzorca wedle, którego wzór ogólny miałby powstać.
Zacząłem więc szukać innego sposobu zapisu funkcji \(\displaystyle{ F(c)}\) i w zagranicznej literaturze znalazłem "Linear fractional transformation". O ile się nie mylę (a jeśli jednak popełniam błąd - proszę mnie od razu sprostować ) to chodzi o tzw. transformację Mobiusa. Niestety nie wiem czy do końca mogę się opierać na tej metodzie, ponieważ z tego co zauważyłem tyczy się ona głównie zbioru liczb zespolonych - w moim wypadku mamy czysty zbiór liczb rzeczywistych. Jeśli jednak dałoby się zaimplementować taką metodę w moim przypadku, to czy uzyskaną macierz transformacji należałoby wymnożyć n-razy ? Chodzi mi o to czy taki zapis ma sens:
\(\displaystyle{ F(c)=\prod_{n=0}^{n+1}\left[ \begin{array}{cc}a_{n}&b_{n} \\ b_{n}&a_{n} \end{array}\right]}\)
Po ustaleniu jak ma wyglądać postać ogólna funkcji, zostaje mi jeszcze wyliczenie miejsc zerowych ale powiedźmy, że to już doczytam (chodź każda podpowiedź też będzie mile widziana).
Pozdrawiam,
K.
Transformacja liniowa - postać ogólna ciągu funkcyjnego
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Transformacja liniowa - postać ogólna ciągu funkcyjnego
Może dwa przykłady:. Natomiast zacząłem kombinować jak będzie wyglądał wzór ogólny tej funkcji w przypadku, gdy "wchodzimy w nią coraz głębiej" - czyli gdy indeks \(\displaystyle{ n}\) rośnie.
440870.htm#p5580436
440998.htm#p5580906
(rozwiązanie zadania dwudziestego pierwszego).
Re: Transformacja liniowa - postać ogólna ciągu funkcyjnego
Premislaw dziękuję za linki do zadań Próbowałem wzorować się na nich i czegoś do końca nie rozumiem ale zanim do tego przejdę - może pokażę do czego doszedłem z obliczeniami:
\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{c \cdot a_{n}+b_{n+1}}{c \cdot b_{n+1}+a_{n}}}\)
Czyli w zapisie macierzowym:
\(\displaystyle{ \frac{ax+b}{cx+d} = \left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}\end{array}\right]}\)
Liczę teraz wyznacznik z macierzy diagonalnej:
\(\displaystyle{ det\left[\begin{array}{cc}a_{n}-x&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}-x\end{array}\right] = (a_{n}-x)^2-b_{n+1}^2=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x_{1}=a_{n}-b_{n+1} \\ x_{2}=a_{n}+b_{n+1}}\)
Wyliczam wektor dla \(\displaystyle{ x_{1}}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=(a_{n}-b_{n+1}) \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n} \cdot x + b_{n+1} \cdot y = (a_{n}-b_{n+1}) \cdot x \\b_{n+1} \cdot x + a_{n} \cdot y = (a_{n}-b_{n+1}) \cdot y\end{cases}}\)
Z tego wynika, że wektor \(\displaystyle{ V_{1}}\) jest równy: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right]}\)
Następnie to samo dla \(\displaystyle{ x_{2}}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=(a_{n}+b_{n+1}) \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n} \cdot x + b_{n+1} \cdot y = (a_{n}+b_{n+1}) \cdot x \\b_{n+1} \cdot x + a_{n} \cdot y = (a_{n}+b_{n+1}) \cdot y\end{cases}}\)
Wektor \(\displaystyle{ V_{2}}\) jest równy: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}a_{n}-b_{n+1}&0\\0&a_{n}+b_{n+1}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}\right]^{-1}}\)
Czyli mnożę następujące macierze:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}(a_{n}-b_{n+1})^{n}&0\\0&(a_{n}+b_{n+1})^{n}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}0.5&-0.5\\0.5&0.5\end{array}\right]}\)
i uzyskuję *:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}\end{array}\right]^{n}= \left[\begin{array}{cc} 0.5 \cdot \left[ (a_{n}-b_{n+1})^{n} + (a_{n}+b_{n+1})^{n}\right] & 0.5 \cdot \left[ (a_{n}+b_{n+1})^{n} - (a_{n}-b_{n+1})^{n}\right]\\ 0.5 \cdot \left[ (a_{n}+b_{n+1})^{n} - (a_{n}-b_{n+1})^{n}\right]& 0.5 \cdot \left[ (a_{n}-b_{n+1})^{n} + (a_{n}+b_{n+1})^{n}\right] \end{array}\right]}\)
Ostatecznie **:
\(\displaystyle{ f^{n}(c)= \frac{ 0.5 \cdot c \cdot \left[ (a_{n}-b_{n+1})^{n} + (a_{n}+b_{n+1})^{n}\right] + 0.5 \cdot \left[ (a_{n}+b_{n+1})^{n} - (a_{n}-b_{n+1})^{n}\right] }{ 0.5 \cdot c \cdot \left[ (a_{n}+b_{n+1})^{n} - (a_{n}-b_{n+1})^{n}\right] + 0.5 \cdot \left[ (a_{n}-b_{n+1})^{n} + (a_{n}+b_{n+1})^{n}\right] }}\)
Co do powyższego wzoru "ostatecznego" - to oczywiście da się go jeszcze uprościć, natomiast na chwilę obecną prosiłbym o sprawdzenie czy dobrze poprowadziłem analizę. Dodatkowo nie rozumiem do końca jak działa przejście między * i ** (gwiazdki to oznaczenia przed operacjami - tekst) - chodzi mi o wykładnik z lewej strony równania. Kiedy mamy zapis \(\displaystyle{ f^{n}(c)}\), a kiedy \(\displaystyle{ f(c)}\) ? Nie potrafię tego zrozumieć na podstawie przesłanych przez Ciebie przykładów (patrz: linki).
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{c \cdot a_{n}+b_{n+1}}{c \cdot b_{n+1}+a_{n}}}\)
Czyli w zapisie macierzowym:
\(\displaystyle{ \frac{ax+b}{cx+d} = \left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}\end{array}\right]}\)
Liczę teraz wyznacznik z macierzy diagonalnej:
\(\displaystyle{ det\left[\begin{array}{cc}a_{n}-x&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}-x\end{array}\right] = (a_{n}-x)^2-b_{n+1}^2=0}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ x_{1}=a_{n}-b_{n+1} \\ x_{2}=a_{n}+b_{n+1}}\)
Wyliczam wektor dla \(\displaystyle{ x_{1}}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=(a_{n}-b_{n+1}) \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n} \cdot x + b_{n+1} \cdot y = (a_{n}-b_{n+1}) \cdot x \\b_{n+1} \cdot x + a_{n} \cdot y = (a_{n}-b_{n+1}) \cdot y\end{cases}}\)
Z tego wynika, że wektor \(\displaystyle{ V_{1}}\) jest równy: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right]}\)
Następnie to samo dla \(\displaystyle{ x_{2}}\):
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]=(a_{n}+b_{n+1}) \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n} \cdot x + b_{n+1} \cdot y = (a_{n}+b_{n+1}) \cdot x \\b_{n+1} \cdot x + a_{n} \cdot y = (a_{n}+b_{n+1}) \cdot y\end{cases}}\)
Wektor \(\displaystyle{ V_{2}}\) jest równy: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]}\)
Teraz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}a_{n}-b_{n+1}&0\\0&a_{n}+b_{n+1}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}\right]^{-1}}\)
Czyli mnożę następujące macierze:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}\end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc}1&1\\-1&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}(a_{n}-b_{n+1})^{n}&0\\0&(a_{n}+b_{n+1})^{n}\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}0.5&-0.5\\0.5&0.5\end{array}\right]}\)
i uzyskuję *:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n+1}\\b_{n+1}&a_{n}\end{array}\right]^{n}= \left[\begin{array}{cc} 0.5 \cdot \left[ (a_{n}-b_{n+1})^{n} + (a_{n}+b_{n+1})^{n}\right] & 0.5 \cdot \left[ (a_{n}+b_{n+1})^{n} - (a_{n}-b_{n+1})^{n}\right]\\ 0.5 \cdot \left[ (a_{n}+b_{n+1})^{n} - (a_{n}-b_{n+1})^{n}\right]& 0.5 \cdot \left[ (a_{n}-b_{n+1})^{n} + (a_{n}+b_{n+1})^{n}\right] \end{array}\right]}\)
Ostatecznie **:
\(\displaystyle{ f^{n}(c)= \frac{ 0.5 \cdot c \cdot \left[ (a_{n}-b_{n+1})^{n} + (a_{n}+b_{n+1})^{n}\right] + 0.5 \cdot \left[ (a_{n}+b_{n+1})^{n} - (a_{n}-b_{n+1})^{n}\right] }{ 0.5 \cdot c \cdot \left[ (a_{n}+b_{n+1})^{n} - (a_{n}-b_{n+1})^{n}\right] + 0.5 \cdot \left[ (a_{n}-b_{n+1})^{n} + (a_{n}+b_{n+1})^{n}\right] }}\)
Co do powyższego wzoru "ostatecznego" - to oczywiście da się go jeszcze uprościć, natomiast na chwilę obecną prosiłbym o sprawdzenie czy dobrze poprowadziłem analizę. Dodatkowo nie rozumiem do końca jak działa przejście między * i ** (gwiazdki to oznaczenia przed operacjami - tekst) - chodzi mi o wykładnik z lewej strony równania. Kiedy mamy zapis \(\displaystyle{ f^{n}(c)}\), a kiedy \(\displaystyle{ f(c)}\) ? Nie potrafię tego zrozumieć na podstawie przesłanych przez Ciebie przykładów (patrz: linki).
Pozdrawiam
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Transformacja liniowa - postać ogólna ciągu funkcyjnego
Przepraszam Cię bardzo, byłem po lekach przeciwbólowych i coś mi się poprzestawiało (to mnie nie usprawiedliwia, por. „piłeś – nie jedź"). Jej, strasznie mi przykro, że zmarnowałem Twój czas. Podane przeze mnie przykłady to zupełnie inna rzecz, bo tam była zależność rekurencyjna postaci \(\displaystyle{ x_{n+1}=f(x_n)}\), gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest homografią.
Jeszcze pomyślę, ale na ten moment nie mam rozwiązania.
Jeszcze pomyślę, ale na ten moment nie mam rozwiązania.
Re: Transformacja liniowa - postać ogólna ciągu funkcyjnego
Cytując słowa z pewnego polskiego filmu "no to wylądował"... W takim razie będę mega wdzięczny jeśli na coś wpadniesz i dasz znać - sam też jeszcze będę szukał jak można ten problem rozgryźć.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Transformacja liniowa - postać ogólna ciągu funkcyjnego
Wzór
\(\displaystyle{ b_k = \frac{c \cdot a_{k+1} + b_{k+1}}{a_{k+1} + c \cdot b_{k+1}}}\)
można zapisać w postaci \(\displaystyle{ b_k = f_{k+1}(b_{k+1})}\), gdzie
\(\displaystyle{ f_k(x) = \frac{x + c \cdot a_k}{c \cdot x + a_k}}\).
Mamy więc
\(\displaystyle{ F(c) = f_0(b_0) = (f_0 \circ f_1 \circ \ldots \circ f_n)(b_n)}\)
czyli interesuje nas iloczyn macierzy
\(\displaystyle{ \prod_{k=0}^n \begin{pmatrix} 1 & c \cdot a_k \\ c & a_k \end{pmatrix}}\).
Można jeszcze rozpisać \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & c \cdot a_k \\ c & a_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & c \\ c & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a_k \end{pmatrix}}\), ale nie wydaje się, żeby można było doprowadzić to wyrażenie do istotnie prostszej postaci.
\(\displaystyle{ b_k = \frac{c \cdot a_{k+1} + b_{k+1}}{a_{k+1} + c \cdot b_{k+1}}}\)
można zapisać w postaci \(\displaystyle{ b_k = f_{k+1}(b_{k+1})}\), gdzie
\(\displaystyle{ f_k(x) = \frac{x + c \cdot a_k}{c \cdot x + a_k}}\).
Mamy więc
\(\displaystyle{ F(c) = f_0(b_0) = (f_0 \circ f_1 \circ \ldots \circ f_n)(b_n)}\)
czyli interesuje nas iloczyn macierzy
\(\displaystyle{ \prod_{k=0}^n \begin{pmatrix} 1 & c \cdot a_k \\ c & a_k \end{pmatrix}}\).
Można jeszcze rozpisać \(\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & c \cdot a_k \\ c & a_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & c \\ c & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & a_k \end{pmatrix}}\), ale nie wydaje się, żeby można było doprowadzić to wyrażenie do istotnie prostszej postaci.
Re: Transformacja liniowa - postać ogólna ciągu funkcyjnego
Nie do końca rozumiem...
po pierwsze w moim przypadku w indeksie zmiennej \(\displaystyle{ a}\) mamy \(\displaystyle{ n}\), a nie \(\displaystyle{ n+1}\) - chyba, że czegoś nie widzę
po pierwsze w moim przypadku w indeksie zmiennej \(\displaystyle{ a}\) mamy \(\displaystyle{ n}\), a nie \(\displaystyle{ n+1}\) - chyba, że czegoś nie widzę
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10218
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Transformacja liniowa - postać ogólna ciągu funkcyjnego
typu_85 pisze:gdzie parametr \(\displaystyle{ b}\) może zostać rozwinięty następująco:
\(\displaystyle{ b_{0}= \frac{c \cdot a_{1}+b_{1}}{a_{1}+c \cdot b_{1}}, \ b_{1}= \frac{c \cdot a_{2}+b_{2}}{a_{2}+c \cdot b_{2}}, \ ...\ , b_{n}= \frac{c \cdot a_{n+1}+b_{n+1}}{a_{n+1}+c \cdot b_{n+1}}}\)
Przyjąłem definicję z pierwszego posta, ale jeśli właściwa jest ta druga, to nic nie stoi na przeszkodzie, żeby przesunąć indeksy.typu_85 pisze:Premislaw dziękuję za linki do zadańPróbowałem wzorować się na nich i czegoś do końca nie rozumiem ale zanim do tego przejdę - może pokażę do czego doszedłem z obliczeniami:
\(\displaystyle{ b_{n}= \frac{c \cdot a_{n}+b_{n+1}}{c \cdot b_{n+1}+a_{n}}}\)