Forma kwadratowa

[Izab321]

Macierz \(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{ccc}1&2&-2\\2&2&4\\-2&4&1\end{array}\right]}\) jest macierzą formy kwadratowej \(\displaystyle{ g}\) w bazie standardowej.
a) Podać dwie różne formy dwuliniowe \(\displaystyle{ f_{1}}\) i \(\displaystyle{ f_{2}}\) takie, że forma kwadratowa jest formą skojarzoną z \(\displaystyle{ f_{1} , f_{2}}\).
b) Podać formę dwuliniową symetryczną \(\displaystyle{ f}\) taką, że forma \(\displaystyle{ g}\) jest skojarzoną z \(\displaystyle{ f}\).

[Dasio11]

Na innym przykładzie: forma kwadratowa \(\displaystyle{ Q \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = x_1 x_2}\) jest skojarzona z każdą z następujących form dwuliniowych:

- \(\displaystyle{ Q_1 \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) = x_1 y_2}\)
- \(\displaystyle{ Q_2 \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) = x_2 y_1}\)
- \(\displaystyle{ Q_3 \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} x_1 y_2 + \frac{1}{2} x_2 y_1}\)
- \(\displaystyle{ Q_4 \left( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \right) = 5 x_1 y_2 - 4 x_2 y_1.}\)

Tylko forma dwuliniowa \(\displaystyle{ Q_3}\) jest symetryczna.