Forma dwuliniowa

[Izab321]

Dana jest forma dwuliniowa\(\displaystyle{ f(x,y)=X ^{T} \cdot A \cdot Y}\) , gdzie \(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix}1&2&-4\\2&-2&-2\\-4&-2&1\end{bmatrix}}\) jest macierzą formy \(\displaystyle{ f}\) w bazie \(\displaystyle{ B _{1}=\{(1,1,1,),(1,-1,0),(1,0,0)\}}\); gdzie\(\displaystyle{ x=( x_{1}, x_{2}, x_{3} ) , y=( y_{1}, y_{2}, y_{3} )}\). Wyznacz wzór na \(\displaystyle{ f(x,y)}\).

[Rafsaf]

Coś mi świta, że to się dało dużo szybciej, ale można zawsze na macierzach przejścia, tzn. znaleźć macierz przejścia \(\displaystyle{ C}\) z bazy \(\displaystyle{ B_1}\) do bazy standardowej i wtedy stare współrzędne:

\(\displaystyle{ X=CX' \\ Y=CY'}\)

Mamy więc \(\displaystyle{ f(x',y')=(CX')^TACY'=X'^T A' Y'}\) gdzie \(\displaystyle{ A'=C^TAC}\)

[Izab321]

A gdyby była baza kanoniczna to jak trzeba ?

[Rafsaf]

Nie rozumiem, chodzi o to jak potem otrzymać wzór na \(\displaystyle{ f(x,y)}\) gdy zapiszemy go w takiej zwartej macierzowej postaci ? No \(\displaystyle{ f(x,y)=X ^{T} \cdot A \cdot Y}\) więc zwyczajnie to mnożymy jak \(\displaystyle{ 3}\) macierze i wyjdzie coś zależnego jak tu od \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3}\) i tyle, tego szukamy, tylko w zadaniu jeszcze trzeba trochę to poprawić bo mamy inną bazę.