Dzień dobry,
Mam ogromny problem z ogarnięciem podręcznika. Oto fragment, z którym mam olbrzymi kłopot (podkreślone fragmenty):
\(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ n-}\) wymiarową rzeczywistą przestrzenią wektorową. \(\displaystyle{ L(X)}\) jest przestrzenią wektorową wszystkich odwzorowań liniowych idących z \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ X}\). Ustalamy pewną bazę \(\displaystyle{ e_1,...,e_n}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\). Dla każdego odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f\in L(X)}\) istnieje dokładnie jedna macierz \(\displaystyle{ A=\left[ a_{i,j}\right]_{i,j=1,...,n}}\) taka, że \(\displaystyle{ f(e_j)= \sum_{i=1}^{n} a_{ij}e_{i}}\) dla każdego \(\displaystyle{ j=1,...,n}\).
Związek ten ustala izomorfizm algebry \(\displaystyle{ L(X)}\) oraz algebry macierzy kwadratowych stopnia n o wyrazach rzeczywistych oznaczonej przez \(\displaystyle{ M(n)}\). Jest to również homeomorfizm tych przestrzeni ze względu na topologie przeniesione w sposób naturalny z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\).
Czy ktoś z Was może mi pomóc?
Skąd wiemy, że jest to izomorfizm?
Czym jest "topologia przeniesiona w sposób naturalny"?
Czemu w związku z tym jest to homeomorfizm?
Rozpaczliwie błagam o pomoc.
Odwzorowania liniowe i macierze
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: Odwzorowania liniowe i macierze
Rzeczone odwzorowanie to \(\displaystyle{ \Phi : \mathrm{M}_{n \times n}(\RR) \to L(X)}\) dane wzorem \(\displaystyle{ \Phi(A) = F_A}\), gdzie dla macierzy
\(\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \ldots & a_{1, n} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \ldots, & a_{2, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \ldots & a_{n, n} \end{pmatrix}}\)
przekształcenie \(\displaystyle{ F_A : X \to X}\) jest określone jako
\(\displaystyle{ F_A \left( \sum_{j=1}^n \alpha_j \cdot e_j \right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i, j} \cdot \alpha_j \cdot e_i.}\)
\(\displaystyle{ \Phi}\) jest izomorfizmem, bo spełnia definicję izomorfizmu:
\(\displaystyle{ \bullet}\) jest liniowe;
\(\displaystyle{ \bullet}\) jest różnowartościowe;
\(\displaystyle{ \bullet}\) jest "na".
Sprawdzenie tych warunków jest łatwe, ale dość żmudne ze względu na ilość symboli. W razie problemów najlepiej zacząć od przypadku \(\displaystyle{ n=2}\), bo dla większych \(\displaystyle{ n}\) jest analogicznie.
Macierz \(\displaystyle{ A \in \mathrm{M}_{n \times n}(\RR)}\) to tablica, która zawiera \(\displaystyle{ n^2}\) liczb rzeczywistych. Taką tablicę można w naturalny sposób utożsamić z ciągiem liczb długości \(\displaystyle{ n^2}\) (który nadal zawiera \(\displaystyle{ n^2}\) liczb, tylko ułożonych w innej kompozycji), czyli z elementem \(\displaystyle{ \RR^{n^2}}\). To utożsamienie definiuje bijekcję \(\displaystyle{ \Psi : \mathrm{M}_{n \times n}(\RR) \to \RR^{n^2}}\). Przez taką bijekcję można przenieść naturalną topologię z \(\displaystyle{ \RR^{n^2}}\) na \(\displaystyle{ \mathrm{M}_{n \times n}(\RR)}\), i o tę topologię chodzi w cytowanym zdaniu.
Nie wiem natomiast, czym jest "topologia na \(\displaystyle{ L(X)}\) przeniesiona w naturalny sposób z \(\displaystyle{ \RR^{n^2}}\)", bo taką topologię w naturalny sposób można przenieść raczej tylko z \(\displaystyle{ \mathrm{M}_{n \times n}(\RR)}\) i to właśnie przez odwzorowanie \(\displaystyle{ \Phi}\) - a wtedy \(\displaystyle{ \Phi}\) automatycznie staje się homeomorfizmem.
\(\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \ldots & a_{1, n} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \ldots, & a_{2, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & a_{n, 2} & \ldots & a_{n, n} \end{pmatrix}}\)
przekształcenie \(\displaystyle{ F_A : X \to X}\) jest określone jako
\(\displaystyle{ F_A \left( \sum_{j=1}^n \alpha_j \cdot e_j \right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i, j} \cdot \alpha_j \cdot e_i.}\)
\(\displaystyle{ \Phi}\) jest izomorfizmem, bo spełnia definicję izomorfizmu:
\(\displaystyle{ \bullet}\) jest liniowe;
\(\displaystyle{ \bullet}\) jest różnowartościowe;
\(\displaystyle{ \bullet}\) jest "na".
Sprawdzenie tych warunków jest łatwe, ale dość żmudne ze względu na ilość symboli. W razie problemów najlepiej zacząć od przypadku \(\displaystyle{ n=2}\), bo dla większych \(\displaystyle{ n}\) jest analogicznie.
Macierz \(\displaystyle{ A \in \mathrm{M}_{n \times n}(\RR)}\) to tablica, która zawiera \(\displaystyle{ n^2}\) liczb rzeczywistych. Taką tablicę można w naturalny sposób utożsamić z ciągiem liczb długości \(\displaystyle{ n^2}\) (który nadal zawiera \(\displaystyle{ n^2}\) liczb, tylko ułożonych w innej kompozycji), czyli z elementem \(\displaystyle{ \RR^{n^2}}\). To utożsamienie definiuje bijekcję \(\displaystyle{ \Psi : \mathrm{M}_{n \times n}(\RR) \to \RR^{n^2}}\). Przez taką bijekcję można przenieść naturalną topologię z \(\displaystyle{ \RR^{n^2}}\) na \(\displaystyle{ \mathrm{M}_{n \times n}(\RR)}\), i o tę topologię chodzi w cytowanym zdaniu.
Nie wiem natomiast, czym jest "topologia na \(\displaystyle{ L(X)}\) przeniesiona w naturalny sposób z \(\displaystyle{ \RR^{n^2}}\)", bo taką topologię w naturalny sposób można przenieść raczej tylko z \(\displaystyle{ \mathrm{M}_{n \times n}(\RR)}\) i to właśnie przez odwzorowanie \(\displaystyle{ \Phi}\) - a wtedy \(\displaystyle{ \Phi}\) automatycznie staje się homeomorfizmem.
-
matmatmm
- Użytkownik
- Posty: 2282
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Odwzorowania liniowe i macierze
Spróbuj to udowodnić. Znasz definicję izomorfizmu? Wiesz jak określone są działania w przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ L(X)}\) i w przestrzeni macierzy kwadratowych nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\) ?lintz pisze: Skąd wiemy, że jest to izomorfizm?
Przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest skończenie wymiarowa. Oznacza to, że dowolne dwie normy tej przestrzeni są równoważne, więc wyznaczają tę samą topologię. Jest to naturalna topologia na \(\displaystyle{ X}\). Ponadto \(\displaystyle{ X}\) oraz \(\displaystyle{ \RR^n}\) są homeomorficzne (każdy izomorfizm tych przestrzeni jest homeomorfizmem), dlatego o tej topologii na \(\displaystyle{ X}\) mówi się, że jest przeniesiona z \(\displaystyle{ \RR^n}\).Czym jest "topologia przeniesiona w sposób naturalny"?
Normę w przestrzeni \(\displaystyle{ L(X)}\) standardowo określa się wzorem
\(\displaystyle{ \|f\|:=\inf\{c\geq 0 :\forall_{x\in X}\|f(x)\|\leq c\|x\|\}}\)
Wiadomo także, że jeśli normy \(\displaystyle{ \|\cdot\|_1,\|\cdot\|_2}\) na przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) są równoważne, to odpowiadające im normy na \(\displaystyle{ L(X)}\) są równoważne. Tym samym topologia na \(\displaystyle{ L(X)}\) nie zależy od wyboru normy na \(\displaystyle{ X}\).
Na przestrzeni macierzy \(\displaystyle{ M(n)}\) natomiast chodzi zapewne o normę indukowaną
... indukowane
Funkcja liniowa określona na przestrzeni skończenie wymiarowej jest ciągła.Czemu w związku z tym jest to homeomorfizm?