Podprzestrzenie ortogonalne

[strefa61]

Cześć, mam podać przykład macierzy rzeczywistej, dla której zachodzi: \(\displaystyle{ ker A \cap Im A = \left\{ 0\right\}}\), ale jądro i obraz nie są ortogonalne.
Spróbuję na macierze dwuwymiarowej:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right]}\)
Wiadomo, że \(\displaystyle{ kerA = \left( Im A^T\right)^{\perp}}\)
zatem: niech \(\displaystyle{ [k_1 , k_2]^T \in kerA}\)
\(\displaystyle{ ImA^T=\left\{ \left[ ax+cy,bx+dy\right]^T \right\}}\) dla \(\displaystyle{ \left[ x,y\right]\in \RR ^2}\)
zatem z definicji dupełnienia ortogonalnego dla obraz transpozycji macierzy A: \(\displaystyle{ k_1ax+k_2dy+k_1cy+k_2bx=0}\)
Nie ma sensu dalej wyrzucać wszystkich swoich myśli, bo nie mogę tego poskładać. Ma ktoś może jakąś radę? Jaką zależność musi spełniać macierz, żeby częśc wspólna jądra i obrazu była trywialna?

[Dasio11]

Najłatwiej skorzystać z faktu, że dla dowolnych podprzestrzeni \(\displaystyle{ U, V \le \RR^n}\), których wymiary sumują się do \(\displaystyle{ n}\), istnieje macierz \(\displaystyle{ M \in \mathrm{M}_{n \times n}(\RR)}\), taka że \(\displaystyle{ \mathrm{ker} \, M = U}\) i \(\displaystyle{ \mathrm{im} \, M = V}\). Spróbuj znaleźć macierz \(\displaystyle{ M \in \mathrm{M}_{2 \times 2}(\RR)}\), taką że \(\displaystyle{ \mathrm{ker} \, M = \mathrm{Lin} \, \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}}\) i \(\displaystyle{ \mathrm{im} \, M = \mathrm{Lin} \, \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}}\).

[Kordyt]

Chciałem pokazać bardzo podobny przykład zaczynając od \(\displaystyle{ V=\mathbb{R}^2}\)

I dwóch nieortogonalnych podprzestrzeni sumujących się do \(\displaystyle{ V}\)
\(\displaystyle{ U=lin\left(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} \right)}\)

\(\displaystyle{ W=lin\left(\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix} \right)}\)

I teraz do nich dobrać macierz \(\displaystyle{ A}\) dla której \(\displaystyle{ \ker{A}=U}\) oraz \(\displaystyle{ \Im{A}=W}\)

Ale tak jak mówię to jest bardzo podobne do tego co zaproponował Dasio.

W ogólniejszym przypadku \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) możemy utworzyć bazę nieortogonalną i z niej dobrać podprzestrzenie.