Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie skończoną przestrzenią wektorową liczb zespolonych, oraz \(\displaystyle{ f:V \rightarrow V}\) niech będzie endomorfizmem. Używając twierdzenia o rzędzie (dwukrotnie) wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ \ker(f \circ f) = \ker(f)}\) to \(\displaystyle{ f:\text{im}(f) \rightarrow \text{im}(f \circ f)}\) jest izomorfizmem.
Nie mam zielonego pojęcia jak się do tego zabrać.
Twierdzenie o rzędzie
-
Montes
- Użytkownik
- Posty: 39
- Rejestracja: 2 paź 2017, o 18:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 16 razy
Twierdzenie o rzędzie
Ostatnio zmieniony 12 maja 2019, o 19:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Ben_Kart
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 14 paź 2016, o 18:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Twierdzenie o rzędzie
Dla \(\displaystyle{ f: \dim V = \dim\ker( f) + \dim\text{im} (f)}\)
Dla \(\displaystyle{ f \circ f: \dim V = \dim\ker (f \circ f) + \dim\text{im} (f \circ f)}\)
więc:
\(\displaystyle{ \dim\ker (f) + \dim\text{im} (f) = \dim\ker (f \circ f) + \dim\text{im} (f \circ f)}\)
a z tego że: \(\displaystyle{ \ker(f \circ f) = \ker(f)}\)
\(\displaystyle{ \dim\text{im} (f) = \dim\text{im} (f \circ f)}\)
Dla \(\displaystyle{ f \circ f: \dim V = \dim\ker (f \circ f) + \dim\text{im} (f \circ f)}\)
więc:
\(\displaystyle{ \dim\ker (f) + \dim\text{im} (f) = \dim\ker (f \circ f) + \dim\text{im} (f \circ f)}\)
a z tego że: \(\displaystyle{ \ker(f \circ f) = \ker(f)}\)
\(\displaystyle{ \dim\text{im} (f) = \dim\text{im} (f \circ f)}\)
Ostatnio zmieniony 12 maja 2019, o 19:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.