Macierz hermitowska

[Montes]

Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą hermitowską. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ A^k = 0}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) to \(\displaystyle{ A=0}\).
Pewnie trzeba tu zastosować twierdzenie spektralne, ale nie mam pomysłu jak zacząć.

[Tmkk]

Jak wygląda twierdzenie spektalne dla macierzy \(\displaystyle{ A}\)? A jak dla macierzy \(\displaystyle{ A^k}\)?

[Montes]

Dla macierzy A wygląda tak, że istnieje macierz unitarna \(\displaystyle{ P}\), taka że \(\displaystyle{ \overline{P^T}AP =diag(\lambda_1, \lambda_2,...,\lambda_n)}\). Dla \(\displaystyle{ A^k}\) chyba tak samo, tylko do potęgi \(\displaystyle{ k}\). Tylko, że prawa strona nie wygląda jakby się miała jakkolwiek zerować

[Tmkk]

Napisz dokładnie jak wygląda rozkład dla macierzy \(\displaystyle{ A^k}\). Co wtedy możemy wywnioskować na temat wartości własnych macierzy \(\displaystyle{ A}\)?

[Montes]

Chyba powinno być tak: \(\displaystyle{ A^k = \overline{P^T}D^kP}\). Z tego pewnie wynika coś takiego:
\(\displaystyle{ A^k=0 \Rightarrow D^k=0 \Rightarrow D=0 \Rightarrow A=0}\) ale nie wiem dlaczego

[karolex123]

Proponuję taki argument: przypuśćmy, że operator \(\displaystyle{ A \neq 0}\), a więc jeśli z tw. spektralnego \(\displaystyle{ A=\overline{P^T}DP}\), gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest diagonalna, to pewien wyraz na jej przekątnej jest różny od \(\displaystyle{ 0}\); załóżmy \(\displaystyle{ \lambda_1 \neq 0}\) (oczywiście to jest wartość własna macierzy \(\displaystyle{ A}\)). Teraz \(\displaystyle{ \lambda_1 ^k \neq 0}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ A^k=\overline{P^T}D^k P \neq 0}\)

-- 4 maja 2019, o 13:11 --

Swoją drogą można to uargumentować nawet ładniej wiedząc, że macierz \(\displaystyle{ A}\) jest nilpotentna wtedy i tylko wtedy, gdy jej jedyną wartością własną jest \(\displaystyle{ 0}\).