Macierz binarna

[Montes]

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{F}_2 = \{0,1\}}\) będzie polem z dwoma elementami. Niech \(\displaystyle{ B \in Mat(m;\mathbb{F}_2)}\) będzie macierzą \(\displaystyle{ (m \times m)}\) w której każda liczba wynosi \(\displaystyle{ 1}\).

Jaka jest geometryczna i algebraiczna wielokrotność wartości własnej \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ m}\) parzystego, oraz udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ m}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ B}\) jest diagonalizowalna.

Jeżeli chodzi o geometryczną wielokrotność to wydaje mi się, że wynosi ona \(\displaystyle{ m-1}\) bo mogę bez trudu podać \(\displaystyle{ m-1}\) liniowo niezależnych wektorów własnych, ale każdy kolejny jaki wymyśliłem był już zależny. Jeżeli chodzi o algebraiczną wielokrotność to jest ona nie mniejsza niż geometryczna więc musi wynosić \(\displaystyle{ m-1}\) lub \(\displaystyle{ m}\). Jeżeli spojrzymy na macierz \(\displaystyle{ (B-I)}\) to zobaczymy, że kolumny tej macierzy są liniowo niezależne więc \(\displaystyle{ 1}\) nie jest wartością własną więc algebraiczna wielokrotność \(\displaystyle{ 0}\) wynosi \(\displaystyle{ m}\).

Niestety nie mam pomysłu jak zrobić drugą część zadania. Jeżeli ktoś mógłby powiedzieć czy dobrze rozumuję w pierwszej części, oraz dać jakieś wskazówki lub rozwiązanie do drugiej to byłbym wdzięczny.

[Dasio11]

Jeżeli chodzi o geometryczną wielokrotność to wydaje mi się, że wynosi ona \(\displaystyle{ m-1}\) bo mogę bez trudu podać \(\displaystyle{ m-1}\) liniowo niezależnych wektorów własnych, ale każdy kolejny jaki wymyśliłem był już zależny.

To, że nie udało Ci się znaleźć \(\displaystyle{ m}\) niezależnych wektorów własnych, nie znaczy, że nie istnieją. Rozwiązanie tej części polega na wskazaniu \(\displaystyle{ m-1}\) niezależnych wektorów własnych i stwierdzeniu, że gdyby istniało \(\displaystyle{ m}\) niezależnych wektorów własnych, to macierz byłaby zerowa, a nie jest. Można też wskazać wektor \(\displaystyle{ v}\), taki że \(\displaystyle{ A v \neq 0}\) ale \(\displaystyle{ A^2 v = 0}\) - wynika stąd, że krotność algebraiczna jest większa od geometrycznej, a więc pierwsza musi wynosić \(\displaystyle{ m}\) a druga \(\displaystyle{ m-1}\).

Jeżeli chodzi o algebraiczną wielokrotność to jest ona nie mniejsza niż geometryczna więc musi wynosić \(\displaystyle{ m-1}\) lub \(\displaystyle{ m}\). Jeżeli spojrzymy na macierz \(\displaystyle{ (B-I)}\) to zobaczymy, że kolumny tej macierzy są liniowo niezależne więc \(\displaystyle{ 1}\) nie jest wartością własną więc algebraiczna wielokrotność \(\displaystyle{ 0}\) wynosi \(\displaystyle{ m}\).

Jak z faktu, że \(\displaystyle{ 1}\) nie jest wartością własną, wynika że algebraiczna krotność \(\displaystyle{ 0}\) wynosi \(\displaystyle{ m}\)?


Odnośnie drugiej części: wskazałeś wcześniej \(\displaystyle{ m-1}\) niezależnych wektorów odpowiadających wartości własnej \(\displaystyle{ 0}\). Jeśli wskażesz teraz wektor odpowiadający wartości własnej \(\displaystyle{ 1}\), to dostaniesz bazę, w której macierz się diagonalizuje.