twierdzenie odwzorowania izometryczne

czarnykotek123 · Post autor: **czarnykotek123** » 18 kwie 2019, o 12:44

Nie wiem, czy dobrze zapamiętałam podane twierdzenie, a potrzebny mi jest jeszcze dowód do niego, który podobno mogę znaleźć w książce J. Gancarzewicza "Algebra i jej zastosowanie".
Proszę o pomoc
Twierdzenie: Niech $\displaystyle{ X}$ będzie przestrzenią euklidesową, niech $\displaystyle{ f: X \to X}$ będzie odwzorowaniem izometryczny. Wtedy $\displaystyle{ f}$ jest złożeniem przesunięcia i odwzorowania liniowego zachowującego iloczyn skalarny.

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 18 kwie 2019, o 18:07

Twierdzenie to, w nieco innej postaci i jego dość obszerny dowód znajdują się w cytowanej przez Panią książce Jacka Gancarzewicza.

Mogę wykonać zdjęcia tego fragmentu książki i przesłać na Pani e-mail.

czarnykotek123 · Post autor: **czarnykotek123** » 18 kwie 2019, o 20:32

janusz47 pisze:Twierdzenie to, w nieco innej postaci i jego dość obszerny dowód znajdują się w cytowanej przez Panią książce Jacka Gancarzewicza.

Mogę wykonać zdjęcia tego fragmentu książki i przesłać na Pani e-mail.

Bardzo bym prosiła, poprosze wysłać na adres mail : elizaog38@gmail.com

janusz47 · Post autor: **janusz47** » 18 kwie 2019, o 21:04

Wyjaśnienia wymaga część ostatniego zdania twierdzenia o przekształceniu izometrycznym w książce Prof. Jacka Gancarzewicza.

$\displaystyle{ "\hat{f}}$ jest izometrią liniową w sensie definicji paragrafu $\displaystyle{ 53".}$

Definicja ta jest następująca:

Odwzorowanie $\displaystyle{ f: V \rightarrow W}$ jest izometrią liniową wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych wektorów $\displaystyle{ v , v' \in V: \ \ f (v)\cdot f(v') = v\cdot v'}$
(gdy zachowuje iloczyn skalarny).

Spektralny · Post autor: **Spektralny** » 19 maja 2019, o 18:05

Niech $\displaystyle{ S}$ będzie rzeczoną izometrią oraz niech $\displaystyle{ Tx = Sx - S0}$. Wówczas $\displaystyle{ T}$ jest izometrią bo

$\displaystyle{ \|Tx - Ty\| = \|Sx - S0 - Sy + S0\| = \|Sx-Sy\| = \|x-y\|}$

oraz, oczywiście, $\displaystyle{ T0=0}$. Wykaż, że $\displaystyle{ T}$ zachowuje iloczyn skalarny:

$\displaystyle{ \begin{array}{lcl}\langle Tx, Ty\rangle &=& \tfrac{1}{2}(\|Tx\|^2 + \|Ty\|^2 - \|Tx-Ty\|^2) \\
& = & \tfrac{1}{2}(\|Tx -T0\|^2 + \|Ty-T0\|^2 - \|Tx-Ty\|^2)\\
& = & \tfrac{1}{2}(\|x\|^2 + \|y\|^2 - \|x-y\|^2)\\
& = & \langle x,y\rangle.\end{array}}$

(użyliśmy tutaj

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Polarization_identity#Other_forms_for_real_vector_spaces

znanej z algebry liniowej działającej w przypadku rzeczywistym; dla przypadku zespolonego należy użyć analogicznej tożsamości dla tego przypadku).

Mamy więc ostatecznie $\displaystyle{ S = \theta_{S0}\circ T}$, gdzie $\displaystyle{ \theta_{S0}(x)=x+S0}$.

Post autor: **Dasio11** » 21 maja 2019, o 17:12

Dowód, że $\displaystyle{ T}$ jest liniowe: niech $\displaystyle{ (e_1, \ldots, e_n)}$ będzie ortonormalną bazą $\displaystyle{ X}$. Wtedy $\displaystyle{ (T(e_1), \ldots, T(e_n))}$ też jest ortonormalną bazą $\displaystyle{ X}$. Niech $\displaystyle{ S}$ będzie jedynym przekształceniem liniowym $\displaystyle{ S : X \to X}$, takim że $\displaystyle{ S(e_i) = T(e_i)}$ dla $\displaystyle{ i = 1, \ldots, n}$.

Ustalmy $\displaystyle{ x \in X}$ i niech $\displaystyle{ x = \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot e_i}$. Wtedy

$\displaystyle{ $ \begin{align*}
T(x) & = T \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot e_i \right) = \sum_{j=1}^n \left< T \left( \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot e_i \right), T(e_j) \right> \cdot T(e_j) \\
& = \sum_{j=1}^n \left< \sum_{i=1}^n \alpha_i \cdot e_i, e_j \right> \cdot T(e_j) = \sum_{j=1}^n \alpha_j \cdot T(e_j) \\
& = \sum_{j=1}^n \alpha_j \cdot S(e_j) = S \left( \sum_{j=1}^n \alpha_j \cdot e_j \right) = S(x)
\end{align*} $}$

czyli $\displaystyle{ T = S}$, w szczególności: $\displaystyle{ T}$ jest liniowe.

Matematyka.pl