Macierz przekształcenia

[El3na]

Przekształcenie T ma w bazie \(\displaystyle{ B = \{ v_1, v_2, v_3 \}}\) macierz:

\(\displaystyle{ $$
\mathbf{A} =
\left( \begin{array}{ccc}
1} & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
1 & 1 & 0
\end{array} \right)}\)

Znaleźć macierz tego przekształcenia w bazie \(\displaystyle{ B' = \{ 2v_1, v_2 + v_3, -v_1 + 2v_2 - v_3 \}}\).

Korzystam z wzoru \(\displaystyle{ A' = P^{-1} \cdot A \cdot P}\) gdzie \(\displaystyle{ P}\) jest macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ B'}\). Jest jeszcze jednak wzór: \(\displaystyle{ A' = Q^{-1} \cdot A \cdot P}\) gdzie \(\displaystyle{ Q}\) jest macierzą przejścia z bazy \(\displaystyle{ B'}\) a \(\displaystyle{ P}\) macierzą z bazy \(\displaystyle{ B}\). Wykorzystując te dwa wzory w każdym wychodzi inna macierz,stąd moje pytanie czy w takich typu zadaniach z wyznaczania macierzy przejścia należy uwzględnić też macierz utworzoną z bazy \(\displaystyle{ B}\) tak jak w drugim wzorze czy tylko z bazy \(\displaystyle{ B'}\) (pierwszy wzór)?

[Dasio11]

Nie ma czegoś takiego jak macierz przejścia z bazy \(\displaystyle{ B}\). Jest tylko macierz przejścia od jednej bazy do drugiej bazy. W tym przypadku macierz przejścia od bazy \(\displaystyle{ B}\) do bazy \(\displaystyle{ B'}\) to

\(\displaystyle{ P = m_B^{B'}( \mathrm{id} ) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}.}\)

Poprawny wzór na macierz przekształcenia \(\displaystyle{ T}\) w bazie \(\displaystyle{ B'}\) to

\(\displaystyle{ m_{B'}^{B'}(T) = m_{B'}^B( \mathrm{id} ) \circ m_B^B(T) \circ m_B^{B'}( \mathrm{id} ) = P^{-1} \circ A \circ P}\).