Baza ortogonalna przestrzeni

[Dariomario]

Witam. Mam znaleźć bazę ortogonalną przestrzeni \(\displaystyle{ \RR_2 \left[ x \right]}\) z iloczynem skalarnym zdefiniowanym poniżej, zawierającą wektory: \(\displaystyle{ v_1=x-1}\) i \(\displaystyle{ v_2 = 3x+2}\)

\(\displaystyle{ \left\langle f,g\right\rangle = f \left( -1 \right) g \left( -1 \right) + f \left( 0 \right) g \left( 0 \right) +f \left( 1 \right) g \left( 1 \right)}\).
więc \(\displaystyle{ v_1}\)i \(\displaystyle{ v_2}\) można zapisać jako: \(\displaystyle{ v_1 = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right]
,
v_2 = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right].}\)
Korzystając z metody Gramma-Schmidta wyznaczam kolejne wektory \(\displaystyle{ w_1, w_2}\).

\(\displaystyle{ w_1 = v_1 = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ w_2 = v_2 - \frac{\left\langle v_2,w_1\right\rangle }{||w_1||^2}w_1}\)
licząc iloczyn skalarny skorzystałem z podanego wzoru co dało wynik: \(\displaystyle{ \left\langle v_2,w_1\right\rangle = 0}\)

Podstawiając więc do wzoru na \(\displaystyle{ w_2}\) otrzymuje:

\(\displaystyle{ w_2 = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right]}\)
więc baza ortogonalna wynosi:

\(\displaystyle{ B = \left( w_1,w_2 \right) = \left( \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right] \right)}\)

Moje pytanie brzmi, czy dobrze zrozumiałem zadanie i czy uzyskałem prawidłowy wynik?

[Tmkk]

Rzeczywiście, te wektory już są prostopadłe. Ale czy przypadkiem \(\displaystyle{ \RR_2[x]}\) to nie są wielomiany stopnia niższego lub równego \(\displaystyle{ 2}\)? Wówczas wymiar przestrzeni to \(\displaystyle{ 3}\) i potrzebujesz jeszcze jednego wektora.

[MrCommando]

Generalnie nie rozumiem w ogóle o co chodzi w tym "rozwiązaniu", bo piszesz niewiele mówiące rachunki i na koniec otrzymujesz dokładnie dwa te same wektory, które były w treści zadania, tzn. \(\displaystyle{ x-1}\) i \(\displaystyle{ 3x+2}\), które nie stanowią nawet bazy \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2[x]}\). Nie wiem po co przeprowadzać ortogonalizację Grama-Schmidta dla układu, który już jest ortogonalny.

Potrzebujesz znaleźć taki wektor \(\displaystyle{ v_3\in\mathbb{R}_2[x]}\), który jest liniowo niezależny od \(\displaystyle{ v_1, v_2}\) oraz \(\displaystyle{ \left\langle v_1, v_3\right\rangle =\left\langle v_2, v_3\right\rangle =0}\), gdzie oczywiście \(\displaystyle{ v_1=x-1}\) i \(\displaystyle{ v_2=3x+2}\).

Aha i zapis

więc \(\displaystyle{ v_1}\)i \(\displaystyle{ v_2}\) można zapisać jako:\(\displaystyle{ v_1 = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right]}\), \(\displaystyle{ v_2 = \left[ \begin{array}{c} 3 \\ 2 \end{array} \right]}\)

jest to bani. Nie możesz postawić znaku równości między tymi wektorami (wielomianami), a jakimiś wektorami z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\), bo to w ogóle inne rzeczy. Prawidłowo powinieneś napisać coś w rodzaju "ustalmy bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2[x]}\) jako \(\displaystyle{ \mathcal{B}=\left(x^2,x,1\right)}\)". Wtedy \(\displaystyle{ v_1 = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right]_\mathcal{B}}\), \(\displaystyle{ v_2 = \left[ \begin{array}{c}0\\ 3 \\ 2 \end{array} \right]_\mathcal{B}}\). To są współrzędne wektorów (wielomianów) w pewnej bazie, a nie te wektory! To w ogóle inne obiekty.

[Dariomario]

ok. Mając więc: \(\displaystyle{ v_1 = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right]_\mathcal{B} oraz v_2 = \left[ \begin{array}{c}0\\ 3 \\ 2 \end{array} \right]_\mathcal{B}}\), musimy więc dobrać jeden wielomian do bazy, a następnie go zortogonalizować.
Więc zakładam, że: \(\displaystyle{ v_3 \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]}\).
Można więc zapisać, że:
\(\displaystyle{ w_1 = v_1 = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right]}\)
\(\displaystyle{ w_2 = v_2 = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ w_3 = v_3 - \frac{\left\langle v_3,w_1\right\rangle }{||w_1||^2}w_1 - \frac{\left\langle v_3,w_2\right\rangle }{||w||^2}w_2}\)

\(\displaystyle{ ||w_1||^2 = 2}\)
\(\displaystyle{ ||w_2||^2 = 13}\)
\(\displaystyle{ \left\langle v_3,w_1\right\rangle = -2}\)
\(\displaystyle{ \left\langle v_3,w_2\right\rangle = 4}\)
\(\displaystyle{ w_3 = v_3 - \frac{\left\langle v_3,w_1\right\rangle }{||w_1||^2}w_1 - \frac{\left\langle v_3,w_2\right\rangle }{||w||^2}w_2 =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ \frac{1}{13} \\ - \frac{21}{13} \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ B = \left\{ w_1,w_2,w_3 \right\} = \left\{ (x-1), (3x+2), (x^2+ \frac{1}{13}x- \frac{21}{13}) \right\}}\)

[MrCommando]

Coś nie bardzo, bo ten wektor, który otrzymałeś nie jest ortogonalny do pozostałych. Pewnie jakiś błąd w rachunkach (nie chce mi się szukać jaki). Swoją drogą nie ma sensu tu na siłę wrzucać ortogonalizacji Grama-Schmidta. Można zastosować mniej rachunkową metodę (przynajmniej mi by się nie chciało obliczać tych iloczynów skalarnych, norm i jeszcze z ułamkami się babrać). Weźmy dowolny wielomian \(\displaystyle{ w\in \mathbb{R}_2[x]}\). Wtedy istnieją \(\displaystyle{ a, b, c\in\mathbb{R}}\) takie, że \(\displaystyle{ w(x)=ax^2+bx+c}\). Mamy \(\displaystyle{ w(1)=a+b+c}\), \(\displaystyle{ w(0)=c}\), \(\displaystyle{ w(-1)=a-b+c}\). Jeżeli \(\displaystyle{ \left\langle w, v_1\right\rangle = \left\langle w, v_2 \right\rangle =0}\), to muszą zachodzić równości \(\displaystyle{ -2a+2b-3c=0}\) i \(\displaystyle{ 4a+6b+6c=0}\). Stąd otrzymujemy, że \(\displaystyle{ w(x)=c\left(-\frac{3}{2}x^2+1\right)}\). Więc jednym z takich wielomianów jest na przykład \(\displaystyle{ -3x^2+2}\). Łatwo sprawdzić teraz, że \(\displaystyle{ \left(x-1,3x+2, -3x^2+2\right)}\) jest bazą ortonogonalną \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2[x]}\).

[Dariomario]

Znalazłem błąd, po ponownym wykonaniu otrzymuje:


\(\displaystyle{ ||w_1||^2 = 2}\)
\(\displaystyle{ ||w_2||^2 = 13}\)
\(\displaystyle{ \left\langle v_3,w_1\right\rangle = -1}\)
\(\displaystyle{ \left\langle v_3,w_2\right\rangle = 4}\)
\(\displaystyle{ w_3 = v_3 - \frac{\left\langle v_3,w_1\right\rangle }{||w_1||^2}w_1 - \frac{\left\langle v_3,w_2\right\rangle }{||w||^2}w_2 =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ - \frac{11}{26} \\ - \frac{29}{26} \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ B = \left\{ w_1,w_2,w_3 \right\} = \left\{ (x-1), (3x+2), (x^2 - \frac{11}{26}x- \frac{29}{26}) \right\}}\),

jeśli chce wykonać teraz sprawdzenie, to jak najprościej?

[MrCommando]

Rachunkowo, sprawdzając wprost czy odpowiednie iloczyny skalarne się zerują, przy czym ja bym rozpatrywał wielomian \(\displaystyle{ 26x^2-11x-29}\), bo się prościej liczy. Widać, że znowu jest źle.

[Dariomario]

Chciałbym by ktoś przeanalizował gdzie popełniam błąd:

zakładam, że \(\displaystyle{ v_3= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right]}\)

Musi być wektor niezależny, więc liczę wyznacznik i sprawdzam czy jest różny od 0.

\(\displaystyle{ det(\left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 2 &0 \end{array} \right]) \neq 0.}\)

Wiedząc, że \(\displaystyle{ v_1}\) oraz \(\displaystyle{ v_2}\) należą do bazy, z m. Gramma Schmidta mamy:

\(\displaystyle{ w_1 = v_1 = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right]}\)

\(\displaystyle{ w_2 = v_2 = \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right]}\)

Wykonując ortogonalizacje na \(\displaystyle{ v_3}\) mamy:

\(\displaystyle{ w_3 = v_3 - \frac{\left\langle v_3,w_1\right\rangle }{||w_1||^2}w_1 - \frac{\left\langle v_3,w_2\right\rangle }{||w||^2}w_2 =\left[ \begin{array}{c} 1 \\ \frac{31}{26} \\ - \frac{105}{26} \end{array} \right]}\)
po drodze otrzymując następujące wyniki:

\(\displaystyle{ ||w_1||^2 = 1^2 + (-1)^2 = 2}\)
\(\displaystyle{ ||w_2||^2 = 3^2 + 2^2 = 13}\)
\(\displaystyle{ \left\langle v_3,w_1\right\rangle = (-2)*2+(-1)*(1)+(0*2) = -4-1=-5}\)
\(\displaystyle{ \left\langle v_3,w_2\right\rangle = (-1)*2+(2*1)+(5*2) = -2+2+10=10}\)

sprawdzając jednak iloczyn skalarny wektora \(\displaystyle{ w_3}\) i wektora \(\displaystyle{ w_1}\) wychodzi, że \(\displaystyle{ \neq 0}\), więc gdzieś popełniłem błąd. Niestety nie widzę go w moich obliczeniach.

[MrCommando]

Normy źle policzyłeś, nie wiem skąd się wzięły takie wyniki.

[Dariomario]

To przy liczeniu normy, powinienem skorzystać również z tego że norma \(\displaystyle{ ||w_1||}\) to jest iloczyn skalarny \(\displaystyle{ w_1,w_1}\) podstawiając pod ten wzór z polecenia?

[MrCommando]

A czy w ogóle tutaj w jakikolwiek inny sposób można? Nie. Dokładnie to kwadrat normy \(\displaystyle{ x}\), to jest \(\displaystyle{ \left\langle x,x\right\rangle}\).