Baza przestrzeni opisanej wielomianem 3 stopnia

[Dariomario]

Witam. Przychodzę z problemem wyznaczenia bazy B i wymiaru przestrzeni:

\(\displaystyle{ V = { p(x) \in \RR _{3}[x] : x^2p(0) + xp''(x) = p'(x) + p''(0) }}\)
a więc zakładam taki wielomian \(\displaystyle{ p(x)}\) że:

\(\displaystyle{ p(x) = ax^3+bx^2+cx+d}\)
następnie:
\(\displaystyle{ p'(x) = 3ax^2+2bx+c}\)
\(\displaystyle{ p''(x) = 6ax+2b}\)
\(\displaystyle{ p''(0)=2b}\)
\(\displaystyle{ p(0) = d}\)

podstawiając do równania otrzymuje:
\(\displaystyle{ x^2d+6ax^2+2bx = 3ax^2 + 2bx +c+d}\)
\(\displaystyle{ dx^2-3ax^2-c-d=0}\)

z czego otrzymuje:
\(\displaystyle{ a = 0}\)
\(\displaystyle{ b = b}\)
\(\displaystyle{ c = -d}\)
\(\displaystyle{ d = 0}\)
? więc bazą będzie:
\(\displaystyle{ B = ( x^2, -x)}\) ?

[MrCommando]

Nie będzie. Po pierwsze źle podstawiłeś do równania, a po drugie to jak je rozwiązałeś jest bez sensu.

[Dariomario]

Faktycznie. Wyszło:\(\displaystyle{ x^2d+6ax^2+2bx = 3ax^2 + 2bx +c+2b}\),
\(\displaystyle{ x^2d+3ax^2-c-2b=0}\)
więc co teraz powinienem z tym zrobić?

[MrCommando]

Równość \(\displaystyle{ (d+3a)x^2-(2b+c)=0}\) jest prawdziwa dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ d=-3a}\) i \(\displaystyle{ c=-2b}\). Ty napisałeś coś dziwnego, a mianowicie, że \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ d=0}\), kiedy w ogóle nie było to uzasadnione.

[Dariomario]

Dziękuje. Więc otrzymuje, że \(\displaystyle{ a = -\frac{1}{3}d , c = -2b, b=b, d=d.}\). Więc
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \\ \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{c} - \frac{1}{3}d \\ b \\ -2b \\ d \\ \end{array} \right] =
b \left[ \begin{array}{c} 0 \\ b \\ -2 \\ 0 \\ \end{array} \right] +
d \left[ \begin{array}{c} - \frac{1}{3} \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right]}\)

[MrCommando]

Nie. Elementy Twojej przestrzeni to WIELOMIANY, a nie jakieś wektory z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\).

[Dariomario]

Nie. Elementy Twojej przestrzeni to WIELOMIANY, a nie jakieś wektory z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\).

tak, mój błąd z pośpiechu:
\(\displaystyle{ B = ( x^2-2x , - \frac{1}{3}x^3+1)}\)

[MrCommando]

Teraz jest w porządku.