Wyznacz bazę, wymiar przestrzeni linowej, wektor wsp.

[Dariomario]

Witam. Mam problem z określeniem wektora współrzędnych dla wyznaczonej bazy.

Mając \(\displaystyle{ V ={ {A \in \RR _{2\times 2} : \left[ \begin{array}{ccc}
2 & -3 \\
1 & 1 \\
\end{array} \right] \cdot A = A \cdot \left[ \begin{array}{ccc}
4 & 3 \\
-3 & -1 \\
\end{array} \right]}}\)

dla których mam znaleźć wektor współrzędnych dla \(\displaystyle{ M = \left[ \begin{array}{ccc}
9 & 8 \\
2 & -1 \\
\end{array} \right]}\) w znalezionej bazie \(\displaystyle{ B}\).

A więc, zakładam takie
\(\displaystyle{ A = \left[ \begin{array}{ccc}
a & b \\
c & d \\
\end{array} \right]}\), następnie wykonując przemnożenie macierzy otrzymuje:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccc}
2a-3b & 2c-3d \\
b+d & c+d \\
\end{array} \right]
=\left[ \begin{array}{ccc}
4a-3c & 3a-c \\
4b-3d & 3b-d \\
\end{array} \right]}\)

przyrównując konkretne współrzędne macierzy otrzymuje
\(\displaystyle{ 2a-3b=4a-3c\\
2c-3d=3a-c\\
b+d=4b-3d\\
c+d=3b-d}\)
przerzucając wszystko na lewą stronę otrzymuje:
\(\displaystyle{ -2a-3b+3c=0\\
-3a+3c-3d=0\\
-3b+4d=0\\
-3b+c+2d=0}\)

Wrzucając wartości do macierzy:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}
-2 & -3 & 3 & 0 & |0 \\
-3 & 0 & 3 & -3 & |0 \\
0 & -3 & 0 & 4 & |0 \\
0 & -3 & 1 & 2 & |0 \\
\end{array} \right]}\)
po przekształceniach otrzymuje macierz:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc}
-1 & 0 & 0 & -1 & |0 \\
0 & -3 & 0 & 4 & |0 \\
0 & 0 & 1 & -2 & |0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & |0 \\
\end{array} \right]}\)
otrzymuje:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
-a-d=0 \\
-3b+4d=0 \\
c=2d,\end{cases}}\)
otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
a=d \\
b= \frac{4}{3}d \\
c=2d \\
d=d, \end{cases}}\)
wstawiając do macierzy otrzymuje:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}
d & \frac{4}{3}d\\
2d & d\\
\end{array} \right]}\). Wyciągając zmienną przed macierz otrzymuje:
\(\displaystyle{ d\left[ \begin{array}{cc}
1 & \frac{4}{3}\\
2 & 1\\
\end{array} \right]}\).
Bazą więc jest:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc}
1 & \frac{4}{3}\\
2 & 1\\
\end{array} \right]}\), a \(\displaystyle{ \dim V=3}\).

________
Licząc teraz wektor współrzędnych dla macierzy \(\displaystyle{ M}\) otrzymuje:
\(\displaystyle{ \alpha \cdot \left[ \begin{array}{cc}
1 & \frac{4}{3}\\
2 & 1\\
\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cc}
9 & 8\\
2 & -11\\
\end{array} \right]}\)
i w tym miejscu wszystko mi się sypie bo otrzymuje 4 różne alfy. Gdzie popełniłem błąd?

[MrCommando]

Na samym początku źle pomnożyłeś te macierze, więc niestety bez sensu. Swoją drogą mimo to otrzymałeś bazę złożoną z jednego wektora, więc skąd w ogóle pomysł na wymiar równy \(\displaystyle{ 3}\)?

[Dariomario]

Na samym początku źle pomnożyłeś te macierze, więc niestety bez sensu. Swoją drogą mimo to otrzymałeś bazę złożoną z jednego wektora, więc skąd w ogóle pomysł na wymiar równy \(\displaystyle{ 3}\)?

No tak, mój błąd źle przepisałem macierz w zeszycie stąd ten błąd.
Tak, wiem, że otrzymałem jeden wektor, lecz wymiar wziąłem z rzędu macierzy, stąd ta nieścisłość.

[MrCommando]

Wymiar przestrzeni to liczba elementów w bazie, a nie rząd jakiejś tam macierzy, więc nie nieścisłość, tylko spory błąd. Dlatego jeżeli otrzymujesz jeden wektor, to wymiar jest równy jeden (tu swoją drogą jakby co powinny wyjść dwa wektory w bazie).

[Dariomario]

Po poprawce otrzymałem macierz:

\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc} -2 & 3 & -3 & 0 & |0 \\ -3 & 3 & -3 & 0 & |0 \\ 1 & 0 & -3 & 3 & |0 \\ 0 & 1 & -3 & 2 & |0 \\ \end{array} \right]}\), po przekształceniu:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & -3 & 3 & |0 \\ 0 & 1 & -3 & 2 & |0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0 \\ \end{array} \right]}\)
następnie:

\(\displaystyle{ a-3c+3d=0\\ b-3c+2d=0\\ c=d\\ d=d}\)
\(\displaystyle{ a=3c-3d\\b=3c-2d\\c=d\\d=d}\)
co w rezultacie dało:
\(\displaystyle{ c\left[ \begin{array}{cc} 3 & 3\\ 0 & 0\\ \end{array}\right] +d\left[ \begin{array}{cc} -3 & -2\\ 1 & 1\\ \end{array}\right]}\)
lecz jak już można zobaczyć, raczej dalej mi coś nie gra, ponieważ przy wyznaczaniu współrzędnych dostaje błędne wyniki.

[MrCommando]

Prawie dobrze, ale to że napisałeś \(\displaystyle{ c=d}\) jest bez sensu, rozwiązanie będzie zależało od dwóch parametrów. Gdzieś musiałeś się pomylić przy schodkowaniu tej macierzy.

EDIT:

Ja mam macierz
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & -3 & 3 & |0 \\ 0 & 1 & -3 & 2 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & |0 \\ \end{array} \right]}\)

[Dariomario]

Okay, znalazłem błąd. Po poprawce wyszło mi, że zależy od 2 parametrów:
\(\displaystyle{ c\left[ \begin{array}{cc} 3 & 3\\ 1 & 0\\ \end{array}\right] +d\left[ \begin{array}{cc} -3 & -2\\ 0 & 1\\ \end{array}\right]}\)
gdzie po podstawieniu do współrzędnych otrzymuje:

\(\displaystyle{ \alpha = 2}\)

\(\displaystyle{ \beta = -1}\)

Dzięki za pomoc !