przesunięcie prostej

[Rozbitek]

Mamy na płaszczyźnie zespolonej prostą o równaniu \(\displaystyle{ z = ta}\).

\(\displaystyle{ a,z \in \CC, \; t \in \RR}\), \(\displaystyle{ t}\) jest parametrem.

Jeżeli chcemy prostą równoległą, to wystarczy dodać \(\displaystyle{ b \in \CC}\) i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z = at + b}\)

Wygląda fajnie, ale przecież \(\displaystyle{ b \in \CC}\), więc ma dwie współrzędne. Jaka będzie różnica, gdy dam \(\displaystyle{ b_1 = 4 + 3i}\) lub \(\displaystyle{ b_2 = 4+5i}\)?

[Janusz Tracz]

Popatrz na to jak na wektory. Taka (tzn. \(\displaystyle{ z=at}\)) prosta to wszystkie przeskalowane wektory \(\displaystyle{ a}\) zaczepione w \(\displaystyle{ (0,0)}\) a jak dodasz \(\displaystyle{ b}\) to są to wszystkie przeskalowane wektory \(\displaystyle{ a}\) tylko zaczepione w punkcie \(\displaystyle{ b}\). Już wiesz jaka będzie różnica w zależności od różnych \(\displaystyle{ b}\)?

[Rozbitek]

Mam nadzieję że tak.
Dziękuję.

Czy to znaczy, że jest nieskończenie wiele takich \(\displaystyle{ b}\), które nie zrobią mi różnicy, jak wezmę sobie \(\displaystyle{ b_3, b_4, b_5, \dots}\) takie, że \(\displaystyle{ arg (b_3) = arg (b_4) = arg (b_5) = \dots}\) to dostanę w efekcie tą sama prostą?

[Janusz Tracz]

Tak jest nieskończenie wiele takich \(\displaystyle{ b}\) dla których ta prost nie zmieni się ale takie \(\displaystyle{ b}\) nie są zadane warunkiem \(\displaystyle{ \arg (b_i)=\arg (b_j)}\). Żeby zdefiniować takie \(\displaystyle{ b}\) które nie wprowadzają różnicy (czyli nie zmienia prostej) można zapisać, że leżą na odpowiedniej prostej. Ustalmy dwa różne \(\displaystyle{ b}\) powiedzmy \(\displaystyle{ b_i}\) oraz \(\displaystyle{ b_j}\) i zauważmy, że generują one pewne proste \(\displaystyle{ at+b_i}\) oraz \(\displaystyle{ as+b_j}\) gdzie \(\displaystyle{ t,s\in\RR}\). Proste te są takie same gdy \(\displaystyle{ at+b_i=as+b_j}\) czyli równoważnie \(\displaystyle{ b_i-b_j=a(s-t)}\) co oznacza, że różnica wektorów \(\displaystyle{ b_i}\) z \(\displaystyle{ b_j}\) jest pewną dowolną wielokrotnością wektora \(\displaystyle{ a}\), geometrycznie oznacza to, że jeśli mamy dwa różne \(\displaystyle{ b}\) i ich różnica "patrzy" w tym samym kierunku co wektor \(\displaystyle{ a}\) to nie ma znaczenia jakie \(\displaystyle{ b}\) wybierzemy. Można też powiedzieć, że każde \(\displaystyle{ b_i}\) oraz \(\displaystyle{ b_j}\) są identyczne (ze względu na generowanie tej prostej) gdy istnieje taka liczba \(\displaystyle{ c\in\RR}\) dla której zajdzie równość \(\displaystyle{ b_i=b_j+ac}\) co jest tylko parafrazą powyższego rozważania nad \(\displaystyle{ b_i-b_j=a(s-t)}\) gdzie w roli \(\displaystyle{ c}\) występuje \(\displaystyle{ s-t}\) a równanie jest lekko zmienione i jest to też parafraza rozważań geometrycznych o kierunku patrzenia tych wektorów.