Tworzenie bazy w określonej przestrzeni

[kegatu]

W jaki sposób mogę sprawdzić, czy z podanych wektorów można utworzyć bazę w danej przestrzeni (np. \(\displaystyle{ \RR^2}\), \(\displaystyle{ \RR^3}\))? Nie mieliśmy jeszcze macierzy, dlatego proszę o wskazanie alternatywnej metody rozwiązywania tego typu zadań.

[janusz47]

Korzystamy z definicji bazy przestrzeni.

Układ wektorów:
(i)
\(\displaystyle{ (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})}\) - liniowo niezależny
(ii)
\(\displaystyle{ lin( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) = \RR^3}\) - rozpina przestrzeń \(\displaystyle{ \RR^3.}\)

Podobnie sprawdzamy dla układu wektorów
\(\displaystyle{ (\alpha_{1}, \alpha_{2}) \in \RR^2.}\)