Wartości własne macierzy rzeczywistej

[strefa61]

Cześć, mam takie zadanie i nie wiem czy moje rozumowanie jest ok:
Niech: \(\displaystyle{ A_{n \times n}}\)-macierz rzeczywista, \(\displaystyle{ \lambda_k = x_k + iy_k}\) wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\).
Mam udowodnić, że:
\(\displaystyle{ y_1+...+y_n=0}\)
jeśli ona jest diagonalizowalna, to dałoby się tak:
\(\displaystyle{ A=B\Lambda B^{-1} \Rightarrow tr\left( B\Lambda B^{-1}\right) = tr\left( \Lambda B B^{-1}\right)=tr\left( \Lambda \right) = tr\left( A\right) \in \RR}\) zatem części urojone wartości własnych muszą się zerować. Ale co w sytuacji, w której ona nie jest diagonalizowalna?

[Tmkk]

Wskazówka.
Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną rzeczywistej macierzy \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ \overline{\lambda}}\) też.

[strefa61]

Ok, czyli sprzężenie \(\displaystyle{ \lambda}\) też musi być wartością własną, bo \(\displaystyle{ \lambda}\) spełnia wielomian charakterystyczny. Faktycznie. Czyli wtedy dla każdej wartości własnej na pewno jej sprzężenie też jest wartością własną i części urojone zawsze się skrócą, tak? Dzięki.

[Tmkk]

Dokładnie tak. Zespolone wartości własne się łączą w pary i części urojone się skracają. A w przypadku rzeczywistych wartości własnych, \(\displaystyle{ y_i =0}\) i tyle.

[karolex123]

jeśli ona jest diagonalizowalna, to dałoby się tak:
\(\displaystyle{ A=B\Lambda B^{-1} \Rightarrow tr\left( B\Lambda B^{-1}\right) = tr\left( \Lambda B B^{-1}\right)=tr\left( \Lambda \right) = tr\left( A\right) \in \RR}\) zatem części urojone wartości własnych muszą się zerować.

pozwolę sobie jeszcze na komentarz do tego zadania

Po pierwsze, skąd jest równość: \(\displaystyle{ tr\left( B\Lambda B^{-1}\right) = tr\left( \Lambda B B^{-1}\right)}\)?

po drugie sam pomysł ze śladem jest bardzo dobry i zgrabny. Korzystając z niezmienniczości śladu ze względu na wybór bazy oraz twierdzenia Jordana, łatwo zobaczyć, że ślad jest równy sumie wartości własnych. Zatem, skoro macierz \(\displaystyle{ A}\) jest rzeczywista, to ślad też jest liczbą rzeczywistą. To już dowodzi temu, że suma \(\displaystyle{ y_i}\) musi być \(\displaystyle{ 0}\)

[strefa61]

O, błąd. Oczywiście miałem na myśli \(\displaystyle{ tr\left( B\Lambda B^{-1}\right) = tr\left( \Lambda B^{-1}B\right)}\).
Swoją drogą właśnie dzisiaj dowiedziałem się, że każdą macierz da się przedstawić w sposób, który opisałeś, zatem wtedy to faktycznie działa dla wszystkich .