Diagonalizowalność, pytanie

[mmss]

Witajcie, mam krótkie pytanie z algebry liniowej.

Czy mówimy że macierz jest diagonalizowalna wtedy i tylko wtedy gdy jest ona podobna do pewnej macierzy diagonalnej ?

A takim razie, jesli tak, to jak mamy stwierdzić czy macierz jest diagonalizowaln ? I pytanie, co to znaczy " Zdiagonalizować macierz " ?-- 20 mar 2019, o 12:53 --W ogóle to czy diagonalizowalność macierzy jest równoważna diagonalizowalności endomorfizmu w bazach standardowych? Bo zawsze jestem w stanie tak wybrać endomorfizm, że jego macierz będzie zadaną macierzą(losową, nieprzypisaną do enndomorfizmu początkowo).

[karolex123]

Czy mówimy że macierz jest diagonalizowalna wtedy i tylko wtedy gdy jest ona podobna do pewnej macierzy diagonalnej ?

Tal. Zdiagonalizować macierz to znaczy znaleźć bazę (równoważnie pewną, nieosobliwą macierz), w której nasza zadana macierz będzie już diagonalna. Mamy różne kryteria diagonalizowalności macierzy, ale w ogólności nie jest to takie łatwe.

Warunkiem koniecznym diagonalizowalności jest istnienie wartości własnych. Jeśli macierz nie ma wartości własnej, to nie może być diagonalizowalna. Na odwrót oczywiście tak nie jest; kontrprzykład: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{array}\right]}\)

Czasami w życiu bywa jednak, że możemy z pewnością twierdzić, że macierz jest diagonalizowalna (to znaczy, istnieje baza złożona z wektorów własnych). Zachodzi bowiem
Stwierdzenie
Przypuśćmy, że macierz \(\displaystyle{ A}\) ma \(\displaystyle{ n}\) parami różnych wartości własnych, gdzie \(\displaystyle{ n}\) rozmiarem macierzy (liczbą kolumn / wierszy). Wówczas \(\displaystyle{ A}\) jest diagonalizowalna.

No i można przy okazji wspomnieć o bardzo ładnym fakcie:
Stwierdzenie
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą symetryczną; \(\displaystyle{ A^T=A}\). Wówczas \(\displaystyle{ A}\) jest diagonalizowalna

[mmss]

A czy zagadnienie diagonalizowalności przykładowej macierzy \(\displaystyle{ A}\) mogę sprowadzić do pytania o diagonalizowalność endomorfizmu \(\displaystyle{ \phi}\) tak zdefiniowanego że endomorfizm \(\displaystyle{ \phi}\) w bazach standardowych ma macierz przekształcenia postaci \(\displaystyle{ A}\)?

[karolex123]

Tak, możesz.
Powinno to być też jasne z tego powodu, że diagonalizowalność macierzy \(\displaystyle{ A}\) obejmuje całą jej klasę sprzężoności (sprzęgamy oczywiście przez macierze nieosobliwe); jest to więc niezależne od wyboru bazy i dlatego możemy mówić o diagonalizowalności endomorfizmu