Przestrzeń liniowa zbiorów

[linq007]

Niech \(\displaystyle{ U, V}\) będą przestrzeniami liniowymi. Czy jest przestrzenią liniową:
a) \(\displaystyle{ U \cap V}\) ;
b) \(\displaystyle{ U \cup V}\)

ad. a)
\(\displaystyle{ x, y \in U \cap V \Rightarrow x, y \in U \wedge x, y \in V \Rightarrow x+y \in U \wedge x+y \in V \Rightarrow x+y \in U \cap V}\)
oraz
\(\displaystyle{ x \in U \cap V \Rightarrow x \in U \wedge x \in V \Rightarrow kx \in U \wedge kx \in V \Rightarrow kx \in U \cap V}\)

Powyżej jest dowód, że zbiór \(\displaystyle{ U \cap V}\) jest przestrzenią liniową. Czy jeśli iloczyn zbiorów tworzy przestrzeń liniową to ich suma również musi tworzyć przestrzeń liniową?

[Dasio11]

Nie musi.

[Janusz Tracz]

Spróbuj podać kontrprzykład, na przykład osie układu czy coś w tym stylu i uzasadnij czemu nie jest to przestrzeń liniowa.