Dowód dotyczący warstw przestrzeni liniowych

[krzaczek98]

Cześć,
Mam problem z rozwiązaniem części zadania. Dokładnie chodzi o poniższy dowód.

Niech \(\displaystyle{ W \le V}\) będą przestrzeniami liniowymi, zaś \(\displaystyle{ U \subseteq V}\)
Udowodnij, że jeśli istnieje wektor \(\displaystyle{ u \in V}\), taki że \(\displaystyle{ U = u + W}\) to dla każdego wektora \(\displaystyle{ u \in U}\) zachodzi \(\displaystyle{ U = u + W}\)

Czy może chodzić tutaj o to, że gdy dodam jakiś wektor do \(\displaystyle{ W}\) to może on należeć do \(\displaystyle{ W}\), ale na pewno należy do \(\displaystyle{ V}\)? Dalej nie wiem jak ruszyć zadanie i czego skorzystać.

[karolex123]

Po kolei. wiemy, że nasz podzbiór \(\displaystyle{ U \subseteq V}\) jest warstwą \(\displaystyle{ u+W}\), a więc zbiorem elementów postaci \(\displaystyle{ u+w}\), gdzie \(\displaystyle{ w \in W}\). Nasze stwierdzenie jest tak naprawdę tautologiczne, bowiem dla dowolnego \(\displaystyle{ u' \in U}\) mamy \(\displaystyle{ u-u' \in W}\), a zatem \(\displaystyle{ u'+W=u+W=U}\)

proponuję jednak to zobaczyć, wyobrazić sobie jakoś. Weź np. \(\displaystyle{ V=\RR ^2}\) i podprzestrzeń \(\displaystyle{ W}\) daną warunkiem liniowym \(\displaystyle{ y=0}\) (jest to oś X). Rozważamy \(\displaystyle{ U=\left( 0,1\right)+W}\), a więc \(\displaystyle{ U}\) jest prostą o równaniu \(\displaystyle{ y=1}\) (proponuję wszystko sobie wyrysować). teraz weź dowolny wektor z prostej \(\displaystyle{ U}\); zobaczysz, że jego warstwa względem podprzestrzeni \(\displaystyle{ W}\) będzie pokrywała się z naszą prostą \(\displaystyle{ U}\)-- 17 mar 2019, o 20:35 --notabene to dobrze, że sama warstwa \(\displaystyle{ u+W}\) nie zależy od wyboru jej reprezentanta (a więc tego naszego \(\displaystyle{ u}\)), to tak właśnie ma i musi być

[krzaczek98]

Okej teraz rozumiem, bardzo dziękuję za kwestie wyobrażenia sobie tego, rzeczywiście to pomaga zrozumieć powyższy problem.