Notacja wskaźnikowa w dywergencji z wersorem

[ForestWillow]

Cześć, mam krótką powtórkę z algebry wektorów i pojawił się problem przy takim działaniu:
\(\displaystyle{ \nabla\times\left(r^{3}{\hat^{\textbf{i}}\right)}\),
gdzie \(\displaystyle{ \textbf{r}=(x,y,z)}\), \(\displaystyle{ r^{3}=\textbf{r}\cdot\textbf{r}\cdot\textbf{r}}\)
Czy taki zapis w postaci wskaźnikowej jest poprawny?:
\(\displaystyle{ \varepsilon_{ijk}\partial_{j}(r^{3}e_{i})_{k}=\varepsilon_{ijk}\partial_{j}r^{3}_{k}e_{i}=\varepsilon_{ijk}\delta_{jk}r^{2}_{k}e_{i}=\varepsilon_{ikk}r^{2}_{k}e_{i}=0}\)

[a4karo]

Zastanów się czym jest \(\displaystyle{ r^3}\)

[ForestWillow]

Zastanów się czym jest \(\displaystyle{ r^3}\)

\(\displaystyle{ r=|r|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\)
\(\displaystyle{ r^{2}=|r|^{2}=x^{2} +y^{2}+z^{2}}\)
\(\displaystyle{ r^{3}=|r|^{3}=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\)
W notacji wskaźnikowej: \(\displaystyle{ r=|r|=\sqrt{r_{i}r_{i}}}\)
\(\displaystyle{ r^{2}=|r|^{2}=\left(r_{i}r_{i}\right)^{\frac{2}{2}}}\)
\(\displaystyle{ r^{3}=|r|^{3}=\left(r_{i}r_{i}\right)^{\frac{3}{2}}}\)

Działanie:
\(\displaystyle{ \nabla\times\left(r^{3}\hat{i}\right)=\varepsilon_{ijk}\partial_{j}\left(r^{3}\hat{i}\right)_{k}= \varepsilon_{ijk}\partial_{j}\left(r_{i}r_{i}\right)^{\frac{3}{2}}= \varepsilon_{ijk}\frac{3}{2}\left(r_{i}r_{i}\right)^{\frac{1}{2}}\left[\left(\partial_{j}r_{i}\right)r_{i}+r_{i}\left(\partial_{j}r_{i}\right)\right]= \varepsilon_{ijk}\frac{3}{2}\left(r_{i}r_{i}\right)^{\frac{1}{2}}\left[\delta_{ji}r_{i}+\delta_{ij}r_{i}\right]= \varepsilon_{ijk}\frac{3}{2}\left(r_{i}r_{i}\right)^{\frac{1}{2}}2r_{j}=}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon_{ijk}\frac{3}{2}\left(r_{i}r_{i}\right)^{\frac{1}{2}}2r_{j}=\varepsilon_{ijk}3\left(r_{i}r_{i}\right)^{\frac{1}{2}}r_{j}}\)
\(\displaystyle{ 3\varepsilon_{ijk}\left(r_{i}r_{i}\right)^{\frac{1}{2}}r_{j}=3\varepsilon_{ijk}\sqrt{r_{i}r_{i}}r_{j}=3\varepsilon_{kij}\sqrt{r_{i}r_{i}}r_{j}}\)

[ForestWillow]

Szukając metody rozwiązania trafiłem na "Poradnik Inżyniera. Matematyka" i tam w końcu znalazłem odpowiedź, którą umieszczam poniżej

\(\displaystyle{ r^{3}=|r|^{3}=\left(r_{n}r_{n}\right)^{\frac{3}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \left[\nabla\times\left(r^{3}\hat{i}\right)\right]_{z}=\varepsilon_{ijk}\partial_{j}\left(r_{n}r_{n}\right)^{\frac{3}{2}}\delta_{k1}=\varepsilon_{ijk}\frac{3}{2}\left(r_{n}r_{n}\right)^{\frac{1}{2}}2r_{i}\delta_{k1}=3\varepsilon_{ijk}r_{i}\left(r_{n}r_{n}\right)^{\frac{1}{2}}\delta_{k1}=\left[3\vec{r}\times(r\hat{i})\right]_{i}=\left[3r(\vec{r}\times\hat{i})\right]_{i}}\)
Co daje nam wynik:
\(\displaystyle{ [0,z,-y]}\)