Bazy czterech podprzestrzeni

[MrCommando]

Dane są dwa układy wektorów \(\displaystyle{ U = (u_1, u_2, u_3)}\) oraz \(\displaystyle{ W = (w_1, w_2, w_3)}\) z pewnej przestrzeni
wektorowej \(\displaystyle{ V}\) . Wektory \(\displaystyle{ u_1, u_2, u_3, w_1, w_2, w_3,}\) wyrażone w pewnej bazie \(\displaystyle{ V}\), zestawiono w macierz, którą następnie doprowadzono do postaci wierszowo zredukowanej. Na jej podstawie wyznaczyć bazy podprzestrzeni \(\displaystyle{ span(U)}\), \(\displaystyle{ span(W)}\), \(\displaystyle{ span(U \cup W)}\) oraz \(\displaystyle{ span(U) \cap span(V)}\).

Ta macierz to \(\displaystyle{ \left( \begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 3 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\
0& 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\end{array} \right)}\).

Generalnie problem mam z bazą przecięcia. Jeżeli chodzi o bazę \(\displaystyle{ span(U)}\) to zauważmy, że rząd macierzy utworzonej z trzech pierwszych kolumn powyższej macierzy jest równy \(\displaystyle{ 2}\), stąd \(\displaystyle{ \dim span(U)=2}\). Widać że wektory odpowiadające pierwszej i drugiej kolumnie są liniowo niezależne, stąd bazą \(\displaystyle{ span(U)}\) jest (na przykład) układ \(\displaystyle{ (u_1,u_2)}\) (operacje wierszowe nie zmieniają rzędu macierzy). W analogiczny sposób możemy dojść do tego, że \(\displaystyle{ \dim span(W)=3}\), stąd bazą \(\displaystyle{ span(W)}\) jest układ \(\displaystyle{ (w_1,w_2,w_3)}\). Z kolei przestrzeń \(\displaystyle{ span(U \cup W)}\) jest generowana przez wszystkie wektory \(\displaystyle{ u_i, w_i}\), łatwo widać, że jej wymiar będzie równy \(\displaystyle{ 3}\), zatem wystarczy wziąć na przykład \(\displaystyle{ (u_1,u_2,w_1)}\), żeby otrzymać bazę tej przestrzeni. No i teraz zaczynają się drobne schody, ze wzoru na wymiar sumy podprzestrzeni dostajemy, że \(\displaystyle{ \dim span(U) \cap span(W) =2}\). No i nie wiem, które wektory należy wybrać, aby otrzymać bazę. Generalnie każdy wektor \(\displaystyle{ v \in span(U) \cap span(W)}\) można przedstawić jako kombinację liniową zarówno wektorów \(\displaystyle{ u_i}\) jak i \(\displaystyle{ w_i}\). Czyli ten wektor można przedstawić jako kombinację liniową \(\displaystyle{ (u_1,u_2)}\), a ponieważ wymiar przecięcia jest równy \(\displaystyle{ 2}\), to można wywnioskować, że \(\displaystyle{ (u_1, u_2)}\) jest bazą przecięcia.

No i wygląda na to, że to ma sens, tylko taka metoda (odnośnie bazy przecięcia) nie podziałałaby, gdyby wymiar \(\displaystyle{ span(U)}\) był różny od \(\displaystyle{ span(U) \cap span(W)}\). Powiedzmy, że wymiar przecięcia wyszedłby \(\displaystyle{ 1}\). I teraz skąd mam wiedzieć, które wektory wziąć, żeby otrzymać bazę przecięcia? Jaka byłaby ogólna metoda? Może jest to w sumie oczywiste, ale jakoś tego nie widzę, chyba trochę późna godzina na myślenie...-- 8 mar 2019, o 19:33 --Dobra, temat nieaktualny. Udało mi się samemu do tego dojść, jednak to było banalne.