Wyznaczyć wszystkie odwzorowania
- camillus25
- Użytkownik
- Posty: 160
- Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 27 razy
Wyznaczyć wszystkie odwzorowania
Mam wyznaczyć wszystkie odwzorowania \(\displaystyle{ A \in L(\RR^{2},\RR^{2})}\) takie, że \(\displaystyle{ A^{2}=id, id(v)=v}\). Mam jeszcze podaną wskazówkę żeby zauważyć, że odwzorowanie \(\displaystyle{ A}\) jest odwracalne i \(\displaystyle{ detA= \pm 1}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Re: Wyznaczyć wszystkie odwzorowania
Odwzorowanie identycznościowe \(\displaystyle{ A^2}\) jest ustaloną macierzą (jaką ?)
Nietrudno chociażby zapisać macież \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a \ b \\ c \ d \end{bmatrix}}\)
Zapisać równanie: \(\displaystyle{ A \cdot A =I_2}\)
Z równania wyznaczyć układ równań i rozwiązać go. Dodatkowo można skorzystać z tego, że znamy wartości wyznacznika więc to daje kolejne równanie.
Nietrudno chociażby zapisać macież \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a \ b \\ c \ d \end{bmatrix}}\)
Zapisać równanie: \(\displaystyle{ A \cdot A =I_2}\)
Z równania wyznaczyć układ równań i rozwiązać go. Dodatkowo można skorzystać z tego, że znamy wartości wyznacznika więc to daje kolejne równanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 5974
- Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 15 razy
- Pomógł: 1251 razy
Re: Wyznaczyć wszystkie odwzorowania
To równanie jest zbędne, gdyż wynika z poprzednich. Podpowiem, że przykładem takich macierzy sąKordyt pisze:Z równania wyznaczyć układ równań i rozwiązać go. Dodatkowo można skorzystać z tego, że znamy wartości wyznacznika więc to daje kolejne równanie.
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right].}\)
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Wyznaczyć wszystkie odwzorowania
Można także ładnie scharakteryzować wszystkie takie odwzorowania; warunek: \(\displaystyle{ A^2=id}\) oznacza, że endomorfizm \(\displaystyle{ A}\) jest symetrią (inwolucją), a więc w pewnej bazie ma macierz diagonalną z \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\) na przekątnej.
-- 25 lut 2019, o 20:36 --
gdyby autor był zainteresowany dowodem tego faktu, to mogę naprowadzić lub jakiś szkic wymyślić
-- 25 lut 2019, o 20:36 --
gdyby autor był zainteresowany dowodem tego faktu, to mogę naprowadzić lub jakiś szkic wymyślić
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Re: Wyznaczyć wszystkie odwzorowania
Z poprzednich czego ?bartek118 pisze:To równanie jest zbędne, gdyż wynika z poprzednich. Podpowiem, że przykładem takich macierzy sąKordyt pisze:Z równania wyznaczyć układ równań i rozwiązać go. Dodatkowo można skorzystać z tego, że znamy wartości wyznacznika więc to daje kolejne równanie.
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right].}\)
To równanie może za bardzo komplikować faktycznie.
Możemy natomiast zauważyć, że macież \(\displaystyle{ A=A^{-1}}\) skoro ich złożenie daje macierz jednostkową.
Jeśli przyjmiemy że:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a&b \\c&d \end{bmatrix}}\)
to \(\displaystyle{ A^{-1}=\begin{bmatrix}d&-b \\-c&a \end{bmatrix}}\) jeśli \(\displaystyle{ detA=1}\)
oraz \(\displaystyle{ A^{-1}=\begin{bmatrix}-d&b \\c&-a \end{bmatrix}}\) jeśli \(\displaystyle{ detA=-1}\)
W obu przypadkach przyrównanie do siebie odpowiednich wyrazów macierzy daje szybkie rozwiązanie jakiej postaci muszą one być.