Wyznaczyć wszystkie odwzorowania

[camillus25]

Mam wyznaczyć wszystkie odwzorowania \(\displaystyle{ A \in L(\RR^{2},\RR^{2})}\) takie, że \(\displaystyle{ A^{2}=id, id(v)=v}\). Mam jeszcze podaną wskazówkę żeby zauważyć, że odwzorowanie \(\displaystyle{ A}\) jest odwracalne i \(\displaystyle{ detA= \pm 1}\)

[Kordyt]

Odwzorowanie identycznościowe \(\displaystyle{ A^2}\) jest ustaloną macierzą (jaką ?)

Nietrudno chociażby zapisać macież \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a \ b \\ c \ d \end{bmatrix}}\)

Zapisać równanie: \(\displaystyle{ A \cdot A =I_2}\)

Z równania wyznaczyć układ równań i rozwiązać go. Dodatkowo można skorzystać z tego, że znamy wartości wyznacznika więc to daje kolejne równanie.

[bartek118]

Z równania wyznaczyć układ równań i rozwiązać go. Dodatkowo można skorzystać z tego, że znamy wartości wyznacznika więc to daje kolejne równanie.

To równanie jest zbędne, gdyż wynika z poprzednich. Podpowiem, że przykładem takich macierzy są
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right].}\)

[karolex123]

Można także ładnie scharakteryzować wszystkie takie odwzorowania; warunek: \(\displaystyle{ A^2=id}\) oznacza, że endomorfizm \(\displaystyle{ A}\) jest symetrią (inwolucją), a więc w pewnej bazie ma macierz diagonalną z \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\) na przekątnej.

-- 25 lut 2019, o 20:36 --

gdyby autor był zainteresowany dowodem tego faktu, to mogę naprowadzić lub jakiś szkic wymyślić

[Kordyt]

Z równania wyznaczyć układ równań i rozwiązać go. Dodatkowo można skorzystać z tego, że znamy wartości wyznacznika więc to daje kolejne równanie.

To równanie jest zbędne, gdyż wynika z poprzednich. Podpowiem, że przykładem takich macierzy są
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array} \right].}\)

Z poprzednich czego ?
To równanie może za bardzo komplikować faktycznie.

Możemy natomiast zauważyć, że macież \(\displaystyle{ A=A^{-1}}\) skoro ich złożenie daje macierz jednostkową.

Jeśli przyjmiemy że:

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}a&b \\c&d \end{bmatrix}}\)

to \(\displaystyle{ A^{-1}=\begin{bmatrix}d&-b \\-c&a \end{bmatrix}}\) jeśli \(\displaystyle{ detA=1}\)
oraz \(\displaystyle{ A^{-1}=\begin{bmatrix}-d&b \\c&-a \end{bmatrix}}\) jeśli \(\displaystyle{ detA=-1}\)

W obu przypadkach przyrównanie do siebie odpowiednich wyrazów macierzy daje szybkie rozwiązanie jakiej postaci muszą one być.