Wymiar i baza jądra oraz obrazu przekształcenia liniowego

[Rafal9184]

W zadaniu mam taką macierz:

\(\displaystyle{ \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{cccc}
2 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 3 & -3 \\
1 & 1 & 1 & -1
\end{array} \right]}\)

Następnie przekształcam macierz sprowadzając ją do postaci:

\(\displaystyle{ \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 3 & -3
\end{array} \right]}\)

Obliczyłem wymiar obrazu i jądra: \(\displaystyle{ dim Im A = 2}\) oraz \(\displaystyle{ dim Ker A = 2}\).
Kolejno, w kolumnach zaznaczam sobie zmienne \(\displaystyle{ x, y, z, u \in R}\).

Rozwiązuję układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{ll}
x+y+z-u=0\\
y+3z-3u=0
\end{array} \right.}\)

\(\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{ll}
x=2z-2u\\
y=-3z+3u\\
z,u \in R
\end{array} \right.}\)

I teraz pojawia się kwestia zapisu, której nie jestem pewien.

\(\displaystyle{ Im A = Lin<
\left[ \begin{array}{c}
2 \\
0 \\
1 \\
\end{array} \right],
\left[ \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1 \\
\end{array} \right]>}\)

\(\displaystyle{ Ker A = Lin<
\left[ \begin{array}{c}
2 \\
-3 \\
1 \\
0 \\
\end{array} \right],
\left[ \begin{array}{c}
-2 \\
3 \\
0 \\
1 \\
\end{array} \right]>}\)

Czy taki zapis jest poprawny?

[szw1710]

Podaj dokładnie treść tego zadania. Inaczej wszelka dyskusja nie ma sensu.

[a4karo]

W zadaniu mam taką macierz:

\(\displaystyle{ \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{cccc}
2 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 3 & -3 \\
1 & 1 & 1 & -1
\end{array} \right]}\)

Następnie przekształcam macierz sprowadzając ją do postaci:

\(\displaystyle{ \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 3 & -3
\end{array} \right]}\)



Czy taki zapis jest poprawny?

Ten zapis nie jest poprawny: te dwie macierze są różne (choćby z powodu rozmiarów)

[Rafal9184]

Dokładna treść zadania:

Przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ f:V \rightarrow V}\) w pewnej bazie ma macierz (i właśnie ta macierz wyżej). Wyznacz wymiar i bazę jądra oraz obrazu tego przekształcenia.

-- 15 lut 2019, o 22:43 --

W zadaniu mam taką macierz:

\(\displaystyle{ \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{cccc}
2 & 1 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 3 & -3 \\
1 & 1 & 1 & -1
\end{array} \right]}\)

Następnie przekształcam macierz sprowadzając ją do postaci:

\(\displaystyle{ \mathbf{A} =
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 3 & -3
\end{array} \right]}\)



Czy taki zapis jest poprawny?

Ten zapis nie jest poprawny: te dwie macierze są różne (choćby z powodu rozmiarów)

To prawda, ale macierz pierwotna zredukowała się do takiej postaci w wyniku działań elementarnych na wierszach (3. wiersz okazuje się być zerami), czyli w zasadzie jest równoważna pierwotnej (zazwyczaj zapisuję to nie używając znaku równości, tylko '~'.

[szw1710]

Więc nie możesz sprowadzać macierzy do tej drugiej postaci skoro jest ona macierzą przekształcenia, jak widać, \(\displaystyle{ f:\RR^4\to\RR^3.}\) A nie \(\displaystyle{ f:V\to V}\). Wtedy (o ile \(\displaystyle{ \dim V<\infty}\)), macierz musiałaby być kwadratowa.

[Jan Kraszewski]

To prawda, ale macierz pierwotna zredukowała się do takiej postaci w wyniku działań elementarnych na wierszach (3. wiersz okazuje się być zerami), czyli w zasadzie jest równoważna pierwotnej

No to jest nieprawda, zero to nie jest nic. Jak wychodzi wiersz zer, to on tam ma być. Operacje na macierzy nie mogą zmieniać jej rozmiaru.

JK

[Rafal9184]

Ok, to w takim razie macierz wygląda tak:

\(\displaystyle{ \mathbf{A} = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]}\).

Czy dalsza część rozumowania jest poprawna?

[a4karo]

Nie. Dwie macierze są równe gdy mają takie same elementy.

Możesz co najwyżej otrzymać macierz w pewnym sensie równoważną danej macierzy (równoważna np. dlatego, że maja ten sam rząd), ale jest wielce nieroztropne oznaczanie jej tym samym symbolem.

[Rafal9184]

Nie. Dwie macierze są równe gdy mają takie same elementy.

Możesz co najwyżej otrzymać macierz w pewnym sensie równoważną danej macierzy (równoważna np. dlatego, że maja ten sam rząd), ale jest wielce nieroztropne oznaczanie jej tym samym symbolem.

Dobrze, w poprzednim wpisie już poprawiłem:

\(\displaystyle{ \mathbf{A'} = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]}\).