Własność obrazu i jądra przekształcenia

[strefa61]

Cześć, nie mogę wymyślić żadnego sposobu na udowodnienie następującej własności:
\(\displaystyle{ X}\) - przestrzeń wektorowa nad ciałem \(\displaystyle{ K}\)
\(\displaystyle{ L}\) - odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ L:X \rightarrow X}\)
teza:
\(\displaystyle{ ImL = Im \left( L \circ L \right) \Leftrightarrow X = KerL+ImL}\)

Moja propozycja do implikacji w lewą stronę:
Nie wprost, czyli: \(\displaystyle{ \neg \left( ImL = Im \left( L \circ L \right) \right) \Rightarrow \neg \left( X = KerL+ImL \right)}\)
Rozpisuję to jak dla funkcji:
zawieranie obrazu złożenia w obrazi przekształcenia zachodzi chyba zawsze, więc zakładam, że:
\(\displaystyle{ \neg \left( ImL \subset \Im \left( L \circ L \right) \right)}\)
Ustalmy wektory \(\displaystyle{ t,u,w}\) takie, że:
\(\displaystyle{ \left\langle t,u \right\rangle \in L}\) oraz \(\displaystyle{ \left\langle u,w \right\rangle \in L}\) zatem:
\(\displaystyle{ \left\langle t,w \right\rangle \in L \circ L}\) niech wektor \(\displaystyle{ u}\) będzie właśnie tym, którego nie ma w obrazie złożenia. Stąd wektora \(\displaystyle{ t}\) nie ma w obrazie \(\displaystyle{ L}\) Pokażę, że właśnie tego wektora nie ma w sumie obrazu i jądra.
Jesli by był, to:
\(\displaystyle{ t=a+b}\), dla pewnych wektorów: \(\displaystyle{ a \in KerL}\) oraz \(\displaystyle{ b \in ImL}\)
\(\displaystyle{ L \left( t \right) =L \left( a+b \right) =L \left( a \right) +L \left( b \right) =0+L \left( b \right) =L \left( b \right)}\)
\(\displaystyle{ L \left( t \right) =L \left( b \right)}\) zgodnie z założeniami: \(\displaystyle{ u=L \left( t \right) =L \left( b \right) \Rightarrow \left\langle b,u \right\rangle \in L}\)
ale \(\displaystyle{ b\in ImL \Rightarrow \left\langle z,b \right\rangle \in L}\) dla pewnego \(\displaystyle{ z}\)
zatem: \(\displaystyle{ \left\langle z,u \right\rangle \in L \circ L}\) a to jest sprzeczność, bo \(\displaystyle{ u}\) miało nie należeć do obrazu złożenia. Zatem \(\displaystyle{ \neg \left( t \in KerL + ImL \right)}\)
Czy ten dowód jest ok? A implikacja w drugą stronę?

-- 15 lut 2019, o 01:05 --

Ok, mam taki pomysł na implikacje w drugą stronę:
\(\displaystyle{ ImL=ImL^2 \Rightarrow X=ImL+KerL}\)
Pytamy, czy \(\displaystyle{ t \in X \Rightarrow t \in (ImL + KerL)}\), bo implikacja w drugą stronę jest oczywista, bo przekształcenie jest określone na przestrzeni wektorowej i przechodzi ze zbioru w ten sam zbiór.
Rozważmy 3 przypadki:
I. \(\displaystyle{ t \in Ker L}\) wtedy spełnione, bo 0 jest w obrazie, więc \(\displaystyle{ t+0}\)
II. \(\displaystyle{ t \in Im L}\) też spełnione, bo 0 jest w jądrze, więc znowu \(\displaystyle{ t+0}\)
III. \(\displaystyle{ \neg (t \in ImL) \wedge \neg (t \in KerL)}\)
\(\displaystyle{ \left\langle t,u\right\rangle \in L}\) dla pewnego \(\displaystyle{ u}\)
\(\displaystyle{ \left\langle t,u\right\rangle \in L \Rightarrow \left\langle x,u\right\rangle \in L^2}\) bo \(\displaystyle{ u \in ImL \Leftrightarrow u \in ImL^2}\) dla pewnego x
\(\displaystyle{ \Rightarrow \left\langle x,y\right\rangle \in L \wedge \left\langle y,u\right\rangle \in L}\) dla pewnego \(\displaystyle{ y}\) z definicji złożenia
zatem: \(\displaystyle{ y \in ImL}\) oraz (ważne) \(\displaystyle{ L(y)=L(t)}\), więc (ponieważ \(\displaystyle{ 0\in kerL}\)) możemy zapisać y, jako sume pewnych wektorów z jądra i obazu:
\(\displaystyle{ y = a + b}\) rozpisuję:
\(\displaystyle{ L(y) = L(a+b) = L(a)+L(b) = 0 + L(b) = L(b) \Rightarrow L(y)-L(b) = 0}\) ale \(\displaystyle{ L(y)=L(t)}\) zatem: \(\displaystyle{ L(t)-L(b) = 0 \Rightarrow L(t-b)=0 \Rightarrow t-b \in kerL}\)
ale \(\displaystyle{ b \in ImL}\) zatem: \(\displaystyle{ t - b + b = t}\) zatem implikacja zachodzi.