Odwzorowanie liniowe określone warunkami

[max07]

Niech \(\displaystyle{ L: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2}\) będzie odwzorowaniem liniowym określonym warunkami:
\(\displaystyle{ L([1,2])=[1,1], \ \ \ \ \ \ L([2,2])=[2,1]}\)

a)wyznaczyć \(\displaystyle{ L([1,0])}\) oraz \(\displaystyle{ L([0,1])}\)

Nie wiem jak się za to zabrać. Myślałem, żeby wyznaczyć wzór i macierz odwzorowania (które przydadzą się do innych podpunktów), ale nie wiem na jakich bazach to zrobić. Do tej pory próbowałem to zrobić w ten sposób:

Ponieważ są 2 warunki i wychodzimy z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) to \(\displaystyle{ [1,2],[2,2]}\) są bazami tej przestrzeni.

\(\displaystyle{ L([1,2])=[1,1]=a(1,2)+b(2,2) \Rightarrow a=0, b= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ L([2,2])=[2,1]=c(1,2)+d(2,2) \Rightarrow c=-1, b= \frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ A_L=\begin{bmatrix} 0&-1\\ \frac{1}{2}& \frac{3}{2} \end{bmatrix} \Rightarrow L(x,y)=(-y, \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2}y)}\)

Ale nie jestem pewny tego rozwiązania

[Dasio11]

\(\displaystyle{ L([1,2])=[1,1]=a(1,2)+b(2,2) \Rightarrow a=0, b= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ L([2,2])=[2,1]=c(1,2)+d(2,2) \Rightarrow c=-1, b= \frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ A_L=\begin{bmatrix} 0&-1\\ \frac{1}{2}& \frac{3}{2} \end{bmatrix} \Rightarrow L(x,y)=(-y, \frac{1}{2}x+ \frac{3}{2}y)}\)

Takie rozwiązanie powoduje, że \(\displaystyle{ A_L}\) jest macierzą odwzorowania \(\displaystyle{ L}\) w bazie \(\displaystyle{ \binom{1}{2}, \binom{2}{2}}\), więc Twój wzór na \(\displaystyle{ L(x, y)}\) jest niepoprawny.

Najłatwiej policzyć tak:

\(\displaystyle{ A \binom{1}{2} = \binom{1}{1}, A \binom{2}{2} = \binom{2}{1} \\[1ex]
A \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\[1ex]
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}^{-1}}\)

[max07]

Hmm bo jeszcze zauważyłem, że przez \(\displaystyle{ [2,2],[1,2]}\) można wyrazić wektory \(\displaystyle{ [1,0],[0,1]}\).
\(\displaystyle{ [1,0]=[2,2]-[1,2]}\)
\(\displaystyle{ [0,1]=[1,2]- \frac{1}{2}[2,2]}\)

i z definicji odwzorowania liniowego
\(\displaystyle{ L([1,0])=L([2,2])-L([1,2])=[1,0]}\)
\(\displaystyle{ L([0,1])=L([1,2])- \frac{1}{2} L([2,2])=[0, \frac{1}{2} ]}\)

Więc przy okazji \(\displaystyle{ L(x,y)}\) z macierzy odwzorowania na bazach kanonicznych
\(\displaystyle{ L([1,0])=[1,0]=a[1,0]+b[0,1] \Rightarrow a=1,b=0}\)
\(\displaystyle{ L([0,1])=[0, \frac{1}{2} ]=c[1,0]+d[0,1] \Rightarrow c=0,d= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ A_L=\begin{bmatrix} 1&0\\0& \frac{1}{2} \end{bmatrix} \Rightarrow L(x,y)=(x, \frac{1}{2} y)}\)

Tak też można zrobić?

[Dasio11]

Tak.