Czy odwzorowanie jest liniowe?

[max07]

\(\displaystyle{ L: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}\), gdy \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) traktujemy jako przestrzeń liniową nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ L(z)=arg \ z}\)

I właśnie nie jestem pewny swojego dowodu

Niech będą dane
\(\displaystyle{ u=x+iy, \ \ \ v=x+iy , \in \mathbb{C}}\)

\(\displaystyle{ L(u+v)=L(2x+2iy)= \frac{ \pi }{4} \neq L(u) + L(v)= \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi }{4} = \frac{ \pi }{2}}\)
,przy \(\displaystyle{ \Re u \neq 0, \Re v \neq 0, \Im u \neq 0, \Im v \neq 0}\)

[Jan Kraszewski]

Niech będą dane
\(\displaystyle{ u=x+iy, \ \ \ v=x+iy , \in \mathbb{C}}\)

No to słabo. Ustalasz dowolne \(\displaystyle{ u,v\in\CC}\) i zaraz zakładasz z niewiadomych powodów, że \(\displaystyle{ u=v}\).

JK

[Janusz Tracz]

max07 a jaki jest werdykt tych obliczeń? Można się tylko domyślać po zaprzeczeniu równości ale tak na prawdę nie dałeś żadnej odpowiedź. Ja bym rozważył przykład (który stanie się kontrprzykładem jak dobrze go opiszesz)

\(\displaystyle{ L(1)=0}\)

\(\displaystyle{ L(i)= \frac{\pi}{2}}\)

A

\(\displaystyle{ L(i+1)=...}\)

I co z tego wynika?

[max07]

I co z tego wynika?

To że przyjmując \(\displaystyle{ z_1=1, \ \ z_2=i, \in \mathbb{C}}\)

\(\displaystyle{ L(z_1+z_2)=L(1+i)= \frac{ \pi }{4} \neq L(z_1)+L(z_2)=L(1)+L(i)=0+ \frac{ \pi }{2}= \frac{ \pi }{2}}\)

Z równania wynika, że odwzorowanie nie jest liniowe.

[Jan Kraszewski]

Niech będą dane
\(\displaystyle{ u=x+iy, \ \ \ v=x+iy , \in \mathbb{C}}\)

\(\displaystyle{ L(u+v)=L(2x+2iy)= \frac{ \pi }{4} \neq L(u) + L(v)= \frac{ \pi }{4} + \frac{ \pi }{4} = \frac{ \pi }{2}}\)
przy \(\displaystyle{ \Re u \neq 0, \Re v \neq 0, \Im u \neq 0, \Im v \neq 0}\)

OK, Twój wstęp mnie zwiódł - Ty próbujesz wskazać kontrprzykład...

No ale robisz to mocno niedobrze. Np. dlaczego uważasz , że \(\displaystyle{ \arg(2x+2iy)=\frac{ \pi }{4}}\) ?

Jeżeli chcesz wskazać kontrprzykład, to powinny to być konkretne \(\displaystyle{ u,v}\), o tak właśnie:

To że przyjmując \(\displaystyle{ z_1=1, \ \ z_2=i, \in \mathbb{C}}\)

\(\displaystyle{ L(z_1+z_2)=L(1+i)= \frac{ \pi }{4} \neq L(z_1)+L(z_2)=L(1)+L(i)=0+ \frac{ \pi }{2}= \frac{ \pi }{2}}\)

Z równania wynika, że odwzorowanie nie jest liniowe.

JK

[max07]

Zgadza się, zadając pytanie nie zauważyłem swojego błędu