Proszę o sprawdzenie, czy mój tok rozumowania jest poprawny. Nie chciałbym się źle nauczyć :
Wyznacz bazy ortonormalne w sensie naturalnego iloczynu skalarnego w przestrzeni rzeczywistej trójwymiarowej jądra oraz obrazu endomorfizmu postaci:\(\displaystyle{ (y,2y,-y)}\).
Macierz endomorfizmu jest więc macierzą kolumnową, a jej rząd wynosi jeden. Wiadomo, że \(\displaystyle{ dimIm(f)=rank(Af)}\), gdzie \(\displaystyle{ Af}\) to macierz endomorfizmu.
1.Jądro:
\(\displaystyle{ y=0 \cap 2y=0 \cap -y=0}\) zatem mam wektor \(\displaystyle{ k=(0,0,0)}\)
Czy poprawne jest tu stwierdzenie, że jądro odwzorowania nie istnieje, bo wektor zerowy nigdy nie jest liniowo niezależny? Jaki wniosek można by tu sformułować?
2.Obraz:
Przyjmuję bazy kanoniczne:
\(\displaystyle{ f(1,0,0)=(0,0,0)}\)
\(\displaystyle{ f(0,1,0)=(1,2,-1)}\)
\(\displaystyle{ f(0,0,1)=(0,0,0)}\)
Czyli jedynie wektor \(\displaystyle{ u=(1,2,-1)}\) tworzy obraz odwzorowania, bo wektory zerowe nie są liniowo niezależne.
Zatem wyznaczam bazy ortonormalne:
\(\displaystyle{ \widetilde{u}= \frac{\sqrt{6}}{6} (1,2,-1)}\)
I to jest koniec zadania.