Wyznacznik macierzy - sprawdzenie zadania

[sandra7]

Wielomian charakterystyczny macierzy \(\displaystyle{ A}\) jest postaci: \(\displaystyle{ \phi(\lambda)=-\lambda ^{3} -3\lambda^2+\lambda+2}\). Wyznaczyć wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A ^{3}+A^2-A-I}\)

Czy poprawnym jest przejście na podstawie twierdzenia, że wielomian charakterystyczny macierzy jest jej wielomianem zerującym: \(\displaystyle{ \lambda ^{3}+\lambda^2-\lambda-1=0}\) i wyliczenie wartości własnych: \(\displaystyle{ \lambda=1}\), \(\displaystyle{ \lambda=-1}\), \(\displaystyle{ \lambda=-1}\), a następnie wyznacznika jako sumy tych wartości własnych czyli wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A ^{3}+A^2-A-I}\) wynosi \(\displaystyle{ -1}\)?

[Dasio11]

Czy poprawnym jest przejście na podstawie twierdzenia, że wielomian charakterystyczny macierzy jest jej wielomianem zerującym: \(\displaystyle{ \lambda ^{3}+\lambda^2-\lambda-1=0}\)

Która macierz ma taki wielomian charakterystyczny?

i wyliczenie wartości własnych: \(\displaystyle{ \lambda=1}\), \(\displaystyle{ \lambda=-1}\), \(\displaystyle{ \lambda=-1}\)

Której macierzy są to wartości własne?

a następnie wyznacznika jako sumy tych wartości własnych czyli wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ A ^{3}+A^2-A-I}\) wynosi \(\displaystyle{ -1}\)?

Wyznacznik dowolnej macierzy \(\displaystyle{ B}\) to iloczyn jej wartości własnych, a nie suma. Poza tym, żeby skorzystać z tego faktu, musiałabyś wyznaczyć wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A^3 + A^2 - A - I}\).