Diagonalizowalność endomorfizmu

[Mr Marcin]

Dany jest endomorfizm w przestrzeni rzeczywistej trójwymiarowej:\(\displaystyle{ (ax+y,2y,bz-y)}\). Wyznacz te wartości \(\displaystyle{ a,b}\), dla których jest on diagonalizowalny.

Robię to tak:
mamy wektory endomorfizmu, które utworzą macierz endomorfizmu:\(\displaystyle{ x \cdot (a,0,0)+y \cdot (1,2,-1)+z \cdot (0,0,b)}\). Wielomian charakterystyczny macierzy endomorfizmu to:\(\displaystyle{ (a-\lambda)(2-\lambda)(b-\lambda)}\)

I tutaj nie wiem, jak kontynouwać... Próbowałem sprawdzić, dla jakich parametrów pochodna z tego wielomianu będzie zawsze większa od zera, bo wtedy mamy pojedyncze wartości własne i endomorfizm będzie diagonalizowalny, ale wychodzą dziwolągi (np. bardzo skomplikowana delta), więc podejrzewam, że trzeba wpaść na coś sprytniejszego.

Proszę o wskazówki

[szw1710]

Endomorfizm jet diagonalizowalny, jeśli ma różne wartości własne.

[Mr Marcin]

Więc odpowiedzią byłoby po prostu: \(\displaystyle{ a \neq b \neq 2}\) ?

[szw1710]

Formalnie wszystkie liczby \(\displaystyle{ a,b,2}\) są różne.

Jeśli wartości własne nie są wzajemnie różne, to w postaci kanonicznej Jordana pojawiają się tzw. klatki Jordana. Dla wzajemnie różnych wartości własnych w postaci kanonicznej mamy macierz diagonalną.

[Mr Marcin]

I co dalej należałoby zrobić, mając już taką macierz Jordana?

[szw1710]

Jeśli chcesz diagonalizaować - znajdujesz wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym i ustawiasz je w macierz, powiedzmy \(\displaystyle{ S}\). Wtedy macierz \(\displaystyle{ SAS^{-1}}\) jest diagonalna.

[Mr Marcin]

Więc otrzymane wektory własne to:\(\displaystyle{ (t,0,0)}\) dla \(\displaystyle{ b \neq 2}\), \(\displaystyle{ (s,0,u)}\) dla \(\displaystyle{ a \neq 2}\) i \(\displaystyle{ ( \frac{-b+2}{a-2} \cdot z,(b-2) \cdot z,z}\) dla \(\displaystyle{ a \neq 2}\) przy założeniach, że wszystkie z liczb \(\displaystyle{ t,s,u,z}\) są liczbami rzeczywistymi różnymi od zera.

Czy dobrze kombinuję?