Bazy i wymiary przestrzeni

[Tracheotomie]

Niech \(\displaystyle{ A =\left[\begin{array}{ccccc}1&2&3&0&3\\-1&0&1&5&3\\0&2&4&5&3\\-1&2&5&10&m\end{array}\right]}\)
Podać bazy i wymiary przestrzeni przestrzeni \(\displaystyle{ C(A)}\) i \(\displaystyle{ N(A)}\) w zależności od parametru \(\displaystyle{ m}\). Dla jakich wartości parametru m wektor \(\displaystyle{ w = [3, −1, 2, 1]}\) należy do \(\displaystyle{ C(A)}\)? Podać jego współrzędne w wybranej bazie C(A). Czy wektor \(\displaystyle{ u = [9, −3, −1, 2, 0]}\) należy do \(\displaystyle{ N(A)}\)?

[janusz47]

1.
Sprowadzamy macierz \(\displaystyle{ A}\) do postaci schodkowej.

2.
Znajdujemy rozwiązanie ogólne jednorodnego układu danego macierzą \(\displaystyle{ A.}\)

[Tracheotomie]

ok, wyznaczyłam macierz schodkową, rząd macierzy wychodzi równy \(\displaystyle{ 3}\) niezależnie od wartości \(\displaystyle{ m}\).

Baza przestrzeni \(\displaystyle{ C \left( A \right)}\) to po prostu jej kolumny, dobrze rozumiem? Tylko jak mam podać bazę i przestrzeń w zależności od \(\displaystyle{ m}\)?

Bazę \(\displaystyle{ N \left( A \right)}\) obliczam z równania \(\displaystyle{ A \cdot X=0}\), wychodzi mi rozwiązanie z parametrem \(\displaystyle{ N= \left\{ t \left( 5,-\frac52,0,1,0 \right) +s \left( 1,-2,1,0,0 \right) \right\}}\) to jest moja baza tak? wyszło mi że \(\displaystyle{ x _{5} \cdot m=0}\) czyli to oznacza że \(\displaystyle{ m}\) jest po prostu rzeczywistą?

Wiem, że aby sprawdzić czy wektor w jest w bazie \(\displaystyle{ C \left( A \right)}\) muszę przyrównać tą macierz do tego wektora, obliczam i wychodzi mi \(\displaystyle{ t \left( 5,-\frac52,0,1,0 \right) +s \left( 1,-2,1,0,0 \right) + \left( 1,1,0,0,0 \right)}\) tylko nie wiem czy to znaczy że wektor należy czy nie.
I nie wiem jak sprawdzić wektor \(\displaystyle{ u}\).
Podsumowując nie rozumiem tu niczego

[janusz47]

Przestrzeń \(\displaystyle{ C(A)}\) jest generowana przez kolumny macierzy \(\displaystyle{ A}\)

Sposób 1
Sprowadzamy macierz do zredukowanej postaci schodkowej - kolumnowo \(\displaystyle{ K}\), wykonując redukcję na kolumnach macierzy \(\displaystyle{ A.}\)

Ilość liniowo niezależnych kolumn macierzy rozpina podprzestrzeń \(\displaystyle{ C(A) \in \RR^5.}\)
Znajdujemy bazę tej podprzestrzeni.

Sposób 2
Sprowadzamy macierz do zredukowanej postaci schodkowej- wierszowo \(\displaystyle{ R}\) - wykonując redukcję na wierszach macierzy \(\displaystyle{ A.}\) Wybieramy w macierzy \(\displaystyle{ A}\) te kolumny, które odpowiadają elementom głównym zredukowanej wierszowo macierzy \(\displaystyle{ R.}\)

Wektor należy do danej podprzestrzeni, gdy można go przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy tej podprzestrzeni.

Proszę zapisywać posty czytelnie, używając LateX'a . Samouczek tego edytora znajduje się na forum.