Znajdź bazę B podprzestrzeni.

[SzalonyCzarodziej]

Znajdź bazę \(\displaystyle{ B}\) podprzestrzeni \(\displaystyle{ V = \{(a, b, c, d) : 2a+5b-d=0, a+b-3c+d=0\}}\) taką, że wektor \(\displaystyle{ w = (7,-1,5,9)}\) ma w bazie \(\displaystyle{ B}\) współrzędne \(\displaystyle{ [2, -1]}\).

[Janusz Tracz]

Zapisz to w Latexie.
Po rozwiązaniu układu równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2a+5b-d=0 \\ a+b-3c+d=0 \end{cases}}\)

Zauważyć można, że baza \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ V}\) składa się z wektorów

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\0\\1\\2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\2\\5\end{bmatrix}}\)

oraz rzecz jasna z ich wielokrotności co pozwala zapisać, że

\(\displaystyle{ V=\text{lin}\left\{ t\begin{bmatrix} 1\\0\\1\\2 \end{bmatrix}, s\begin{bmatrix} 0\\1\\2\\5\end{bmatrix}\right\}}\)

dla dowolnych \(\displaystyle{ t,s\in\RR \setminus \left\{ 0\right\}}\)

Z treści zadania wiemy, że wektor \(\displaystyle{ w}\) ma w bazie współrzędne \(\displaystyle{ \left[ 2,-1\right]}\) a zatem z definicji wektora mamy, że

\(\displaystyle{ w=2t\begin{bmatrix} 1\\0\\1\\2 \end{bmatrix}-s\begin{bmatrix} 0\\1\\2\\5\end{bmatrix}}\)

co pozwala ułożyć warunki na \(\displaystyle{ t,s}\). Wynikiem po prostych obliczeniach jest \(\displaystyle{ t= \frac{7}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ s=1}\) czyli

\(\displaystyle{ V=\text{lin}\left\{ \frac{7}{2} \cdot \begin{bmatrix} 1\\0\\1\\2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0\\1\\2\\5\end{bmatrix}\right\}}\)

Przy czym \(\displaystyle{ w}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ \left[ 2,-1\right]}\).