1.
Znajdujemy wartości własne macierzy
\(\displaystyle{ A}\) jako pierwiastki jej wielomianu charakterystycznego:
\(\displaystyle{ \det(A - \lambda I) = \det\left[\begin{matrix}1-\lambda&1\\2&3-\lambda \end{matrix}\right] =
0}\)
\(\displaystyle{ (1-\lambda)(3-\lambda)-1\cdot 2 = 0, \ \ \lambda^2 -4\lambda -1=0}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{1}= 2-\sqrt{3}, \ \ \lambda_{2} = 2 +\sqrt{3}.}\)
2.
Znajdujemy macierz diagonalizującą
\(\displaystyle{ P}\) kolumnowych wektor własnych macierzy
\(\displaystyle{ A}\) dla każdej wartości własnej
\(\displaystyle{ \lambda_{1}= 2-\sqrt{3}:}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1-2+\sqrt{3}&1\\ 2& 3-2+\sqrt{3}\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}a\\b \end{matrix}\right] = 0}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix}-1+\sqrt{3}&1\\ 2&1+\sqrt{3}\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}a\\b \end{matrix}\right] = 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (-1+\sqrt{3})a +b = 0\\ 2a +(1+\sqrt{3})b =0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ b = (1-\sqrt{3})a = \frac{-2a}{1+\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ \vec{w_{1}}= \left[\begin{matrix}1&\\ 1-\sqrt{3}\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ \lambda_{2}= 2+\sqrt{3}:}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix}1-2-\sqrt{3}&1\\ 2& 3-2-\sqrt{3}\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}a\\b \end{matrix}\right] = 0}\)
\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix}-1-\sqrt{3}&1\\ 2&1-\sqrt{3}\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}a\\b \end{matrix}\right] = 0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} (-1-\sqrt{3})a +b = 0\\ 2a +(1-\sqrt{3})b =0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ b = (1+\sqrt{3})a = \frac{-2a}{1-\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ \vec{w_{2}}= \left[\begin{matrix}1&\\ 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right]}\)
\(\displaystyle{ P = \left[ \begin{matrix} 1& 1\\ 1-\sqrt{3}& 1+\sqrt{3}\end{matrix}{\right]}\)
3.
Znajdujemy macierz odwrotną
\(\displaystyle{ P^{-1}}\) macierzy
\(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} Adj \ \ (1)}\)
Macierz
\(\displaystyle{ Obj}\) dopełnień algebraicznych
\(\displaystyle{ Obj =\left[\begin{matrix}1+\sqrt{3}&-1 +\sqrt{3}\\-1&1\end{matrix}\right]}\)
Macierz transponowana dopełnień algebraicznych - macierz dołączona
\(\displaystyle{ Adj}\)
\(\displaystyle{ Obj^{T} = Adj = \left[\begin{matrix}1+\sqrt{3}&-1 \\-1+\sqrt{3}&1\end{matrix}\right]}\)
Wyznacznik macierzy
\(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ \det(P)=1(1+\sqrt{3})-1(1-\sqrt{3})=1+\sqrt{3}-1+\sqrt{3}=2\sqrt{3}.}\)
Na podstawie (1)
\(\displaystyle{ P^{-1}=\left[\begin{matrix}\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}\\\frac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&\frac{1}{2\sqrt{3}}\end{matrix}\right].}\)
4.
Macierz
\(\displaystyle{ A}\) przedstawiamy w postaci iloczynu macierzy:
\(\displaystyle{ A= P\cdot D \cdot P^{-1}}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ D}\) jest macierzą diagonalną zawierającą na diagonali wartości własne macierzy
\(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 1& 1\\ 1-\sqrt{3}& 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right]\cdot \left[ \begin{matrix}2-\sqrt{3}&0\\0&2+\sqrt{3}\end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}\\\frac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&\frac{1}{2\sqrt{3}}\end{matrix}\right]}\)
Sprawdzamy ten rozkład w programie numerycznym OCTAVE
OCTAVE 4.2.1
Kod: Zaznacz cały
>> A = [1,1;1-sqrt(3),1+sqrt(3)]*[2-sqrt(3),0;0,2+sqrt(3)]*[(1+sqrt(3))/(2*sqrt(3)),-1/(2*sqrt(3));(-1+sqrt(3))/(2*sqrt(3)),1/(2*sqrt(3))]
A =
1.0000 1.0000
2.0000 3.0000
Potęga o wykładniku
\(\displaystyle{ 2019}\) macierzy
\(\displaystyle{ A}\)
\(\displaystyle{ A^{2019} = \left[\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right]^{2019} =\left[\begin{matrix} 1& 1\\ 1-\sqrt{3}& 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right]\cdot \left[ \begin{matrix}(2-\sqrt{3})^{2019}&0\\0&(2+\sqrt{3})^{2019\end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}\\\frac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&\frac{1}{2\sqrt{3}}\end{matrix}\right].}\)
Nie będziemy wymnażać macierzy. Potęga macierzy jest tak duża, wartości elementów macierzy potęgowej są nieskończonościami
\(\displaystyle{ Inf,}\) co możemy potwierdzić tym samym programem numerycznym:
OCTAVE 4.2.1
Kod: Zaznacz cały
>> A = [1,1;1-sqrt(3),1+sqrt(3)]*[(2-sqrt(3))^(2019),0;0,(2+sqrt(3))^(2019)]*[(1+sqrt(3))/(2*sqrt(3)),-1/(2*sqrt(3));(-1+sqrt(3))/(2*sqrt(3)),1/(2*sqrt(3))]
A =
Inf Inf
Inf Inf
>> A=[1,1;2,3]
A =
1 1
2 3
>> A^2019
ans =
Inf Inf
Inf Inf