Potęgowanie macierzy

[felek321]

No to wyznacz.

\(\displaystyle{ 2-\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ 2+\sqrt{3}}\)

[pawlo392]

Jak wygląda macierz D? Umiesz wyznaczać wektory własne? Jeśli tak to wyznacz.

[felek321]

Jak wygląda macierz D? Umiesz wyznaczać wektory własne? Jeśli tak to wyznacz.

1) Dla \(\displaystyle{ 2- \sqrt{3}}\) \(\displaystyle{ {(\frac{- \sqrt{3}-1*x _{2} }{2}\choose x_{2}}}\)


2)Dla \(\displaystyle{ 2+ \sqrt{3}}\) \(\displaystyle{ {(\frac{ \sqrt{3}-1* x_{2} }{2}\choose x_{2}}}\)

[pawlo392]

No to teraz skonstruuj macierz D i macierz S oraz odwrotną do S.

[felek321]

No to teraz skonstruuj macierz D i macierz S oraz odwrotną do S.

no wlasnie problem w tym ze teraz nie wiem jak to zrobic

[pawlo392]

Macierz D jest macierzą diagonalną, składającą się z wartości własnych. Macierz S to macierz składająca się z wektorów własnych.

[felek321]

Macierz D jest macierzą diagonalną, składającą się z wartości własnych. Macierz S to macierz składająca się z wektorów własnych.

Macierz D :

\(\displaystyle{ D = \left[\begin{array}{ccc}-1- \sqrt{3} &1\\2&1+ \sqrt{3} \end{array}\right]}\) ?
nie wiem jak bedzie wygladala macierz s

[pawlo392]

Przepraszam, że tak tłumacze. Musisz zapoznać się z definicją macierzy diagonalnej.

[felek321]

Przepraszam, że tak tłumacze. Musisz zapoznać się z definicją macierzy diagonalnej.

Ok rozumiem zamiast 1 i 2 mają być 0 ale dalej nie wiem jak wyglada ta macierz S

[pawlo392]

I troszkę wartości własne zmieniłeś. Macierz S to macierz złożona z wektorów własnych. Wektory te wyznaczyłeś.

[janusz47]

1.
Znajdujemy wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) jako pierwiastki jej wielomianu charakterystycznego:

\(\displaystyle{ \det(A - \lambda I) = \det\left[\begin{matrix}1-\lambda&1\\2&3-\lambda \end{matrix}\right] =
0}\)

\(\displaystyle{ (1-\lambda)(3-\lambda)-1\cdot 2 = 0, \ \ \lambda^2 -4\lambda -1=0}\)

\(\displaystyle{ \lambda_{1}= 2-\sqrt{3}, \ \ \lambda_{2} = 2 +\sqrt{3}.}\)

2.
Znajdujemy macierz diagonalizującą \(\displaystyle{ P}\) kolumnowych wektor własnych macierzy \(\displaystyle{ A}\) dla każdej wartości własnej

\(\displaystyle{ \lambda_{1}= 2-\sqrt{3}:}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{matrix}1-2+\sqrt{3}&1\\ 2& 3-2+\sqrt{3}\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}a\\b \end{matrix}\right] = 0}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix}-1+\sqrt{3}&1\\ 2&1+\sqrt{3}\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}a\\b \end{matrix}\right] = 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} (-1+\sqrt{3})a +b = 0\\ 2a +(1+\sqrt{3})b =0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ b = (1-\sqrt{3})a = \frac{-2a}{1+\sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ \vec{w_{1}}= \left[\begin{matrix}1&\\ 1-\sqrt{3}\end{matrix}\right]}\)

\(\displaystyle{ \lambda_{2}= 2+\sqrt{3}:}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix}1-2-\sqrt{3}&1\\ 2& 3-2-\sqrt{3}\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}a\\b \end{matrix}\right] = 0}\)

\(\displaystyle{ \left[ \begin{matrix}-1-\sqrt{3}&1\\ 2&1-\sqrt{3}\end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}a\\b \end{matrix}\right] = 0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} (-1-\sqrt{3})a +b = 0\\ 2a +(1-\sqrt{3})b =0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ b = (1+\sqrt{3})a = \frac{-2a}{1-\sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ \vec{w_{2}}= \left[\begin{matrix}1&\\ 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right]}\)

\(\displaystyle{ P = \left[ \begin{matrix} 1& 1\\ 1-\sqrt{3}& 1+\sqrt{3}\end{matrix}{\right]}\)

3.
Znajdujemy macierz odwrotną \(\displaystyle{ P^{-1}}\) macierzy \(\displaystyle{ P}\)

\(\displaystyle{ P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} Adj \ \ (1)}\)

Macierz \(\displaystyle{ Obj}\) dopełnień algebraicznych

\(\displaystyle{ Obj =\left[\begin{matrix}1+\sqrt{3}&-1 +\sqrt{3}\\-1&1\end{matrix}\right]}\)

Macierz transponowana dopełnień algebraicznych - macierz dołączona \(\displaystyle{ Adj}\)

\(\displaystyle{ Obj^{T} = Adj = \left[\begin{matrix}1+\sqrt{3}&-1 \\-1+\sqrt{3}&1\end{matrix}\right]}\)

Wyznacznik macierzy \(\displaystyle{ P}\)

\(\displaystyle{ \det(P)=1(1+\sqrt{3})-1(1-\sqrt{3})=1+\sqrt{3}-1+\sqrt{3}=2\sqrt{3}.}\)

Na podstawie (1)

\(\displaystyle{ P^{-1}=\left[\begin{matrix}\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}\\\frac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&\frac{1}{2\sqrt{3}}\end{matrix}\right].}\)

4.
Macierz \(\displaystyle{ A}\) przedstawiamy w postaci iloczynu macierzy:

\(\displaystyle{ A= P\cdot D \cdot P^{-1}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ D}\) jest macierzą diagonalną zawierającą na diagonali wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\)

\(\displaystyle{ A = \left[\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} 1& 1\\ 1-\sqrt{3}& 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right]\cdot \left[ \begin{matrix}2-\sqrt{3}&0\\0&2+\sqrt{3}\end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}\\\frac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&\frac{1}{2\sqrt{3}}\end{matrix}\right]}\)

Sprawdzamy ten rozkład w programie numerycznym OCTAVE

OCTAVE 4.2.1

Kod: Zaznacz cały

>> A = [1,1;1-sqrt(3),1+sqrt(3)]*[2-sqrt(3),0;0,2+sqrt(3)]*[(1+sqrt(3))/(2*sqrt(3)),-1/(2*sqrt(3));(-1+sqrt(3))/(2*sqrt(3)),1/(2*sqrt(3))]
A =

   1.0000   1.0000
   2.0000   3.0000                                                                                                                                                                                             

Potęga o wykładniku \(\displaystyle{ 2019}\) macierzy \(\displaystyle{ A}\)

\(\displaystyle{ A^{2019} = \left[\begin{matrix}1&1\\2&3\end{matrix}\right]^{2019} =\left[\begin{matrix} 1& 1\\ 1-\sqrt{3}& 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right]\cdot \left[ \begin{matrix}(2-\sqrt{3})^{2019}&0\\0&(2+\sqrt{3})^{2019\end{matrix}\right]\cdot \left[\begin{matrix}\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}\\\frac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}&\frac{1}{2\sqrt{3}}\end{matrix}\right].}\)

Nie będziemy wymnażać macierzy. Potęga macierzy jest tak duża, wartości elementów macierzy potęgowej są nieskończonościami \(\displaystyle{ Inf,}\) co możemy potwierdzić tym samym programem numerycznym:

OCTAVE 4.2.1

Kod: Zaznacz cały

 >> A = [1,1;1-sqrt(3),1+sqrt(3)]*[(2-sqrt(3))^(2019),0;0,(2+sqrt(3))^(2019)]*[(1+sqrt(3))/(2*sqrt(3)),-1/(2*sqrt(3));(-1+sqrt(3))/(2*sqrt(3)),1/(2*sqrt(3))]
A =                                                                                                                                                                                           
Inf   Inf
Inf   Inf  
 
 >> A=[1,1;2,3]
A =

   1   1
   2   3

>> A^2019
ans =

   Inf   Inf
   Inf   Inf