Jądro przekształcenia a baza jądra
-
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 7 sty 2019, o 19:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 34 razy
- Pomógł: 4 razy
Jądro przekształcenia a baza jądra
Mam przekształcenie liniowe:
\(\displaystyle{ T: \RR^{5} \rightarrow \RR^{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ T(x,y,z,u,v)=(x-2y-z+u+2v, 2x-4y+z+5u+7v)}\)
Mam wyznaczyć jądro przekształcenia i bazę jądra. Bazę jądra umiem wyznaczyć bo to trzeba rozwiązać układ równań. Problem polega na tym jak wyznaczyć jądro. Prosiłbym o wytłumaczenie.
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ T: \RR^{5} \rightarrow \RR^{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ T(x,y,z,u,v)=(x-2y-z+u+2v, 2x-4y+z+5u+7v)}\)
Mam wyznaczyć jądro przekształcenia i bazę jądra. Bazę jądra umiem wyznaczyć bo to trzeba rozwiązać układ równań. Problem polega na tym jak wyznaczyć jądro. Prosiłbym o wytłumaczenie.
Pozdrawiam
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Jądro przekształcenia a baza jądra
Skoro masz bazę \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) jądra to \(\displaystyle{ \text{ker}\left( \text{T}\right)=\text{lin}\left\{\mathcal{B}\right\}}\). Nie jestem jednak pewien czy nie pomyliłeś pomyliłeś pojęć. Zazwyczaj najpierw łatwiej jest wyznaczyć jądro jako \(\displaystyle{ \text{ker}\left( \text{T}\right)=\left\{ \mathbf{x}\in\RR^5:\text{T}(\mathbf{x})=\mathbf{0}_{\in\RR^3} \right\}}\) a dopiero potem to przekształcić tak aby odczytać bazę.
-
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 7 sty 2019, o 19:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 34 razy
- Pomógł: 4 razy
Re: Jądro przekształcenia a baza jądra
Wyszło mi takie coś. To jest jądro? A potem z tego wyznaczyć bazę?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2y-2u-3v\\y\\-u-v\\u\\v\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2y-2u-3v\\y\\-u-v\\u\\v\end{bmatrix}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Jądro przekształcenia a baza jądra
Wyznaczając jądro po drodze wyznaczasz jego bazę. Z tego co otrzymałeś musisz sobie porozdzielać na sumę wektorów tak by w każdym był tylko jeden rodzaj niewiadomej, niewiadomą wyciągasz przed kazdy wektor a ponieważ one mają wartości dowolne w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to wychodzi ci kombinacja liniowa pewnych wektorów, które same są bazą rozpinającą podprzestrzeń liniową będącą jądrem tego odwzorowania.
-
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 7 sty 2019, o 19:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 34 razy
- Pomógł: 4 razy
Re: Jądro przekształcenia a baza jądra
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2\\0\\-1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3\\0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}}\)
Zadanie wymaga ode mnie:
a) Wyznacz jądro \(\displaystyle{ Ker T}\)
b) Wyznacz bazę jądra \(\displaystyle{ Ker T}\)
co do czego wpisać?
Zadanie wymaga ode mnie:
a) Wyznacz jądro \(\displaystyle{ Ker T}\)
b) Wyznacz bazę jądra \(\displaystyle{ Ker T}\)
co do czego wpisać?
-
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 7 sty 2019, o 19:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 34 razy
- Pomógł: 4 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4074
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1395 razy
Re: Jądro przekształcenia a baza jądra
Z definicji powłoki liniowej i definicji jądra.
\(\displaystyle{ \text{ker}\left( \text{T}\right)=\left\{\begin{bmatrix} 2y-2u-3v\\y\\-u-v\\u\\v\end{bmatrix} : u,v,y\in\RR \right\}}\)
Obliczeń nie sprawdzam ale trzy parametry rzuciły mi się w oczy czy nie powinno być \(\displaystyle{ T: \RR^{5} \rightarrow \RR^{{\red{2}}}}\)-- 1 lut 2019, o 18:08 --No albo skoro już masz bazę do można zapisać że
\(\displaystyle{ \text{ker}\left( \text{T}\right)=\text{lin}\left\{\begin{bmatrix} 2\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2\\0\\-1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3\\0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}\right\}}\)
\(\displaystyle{ \text{ker}\left( \text{T}\right)=\left\{\begin{bmatrix} 2y-2u-3v\\y\\-u-v\\u\\v\end{bmatrix} : u,v,y\in\RR \right\}}\)
Obliczeń nie sprawdzam ale trzy parametry rzuciły mi się w oczy czy nie powinno być \(\displaystyle{ T: \RR^{5} \rightarrow \RR^{{\red{2}}}}\)-- 1 lut 2019, o 18:08 --No albo skoro już masz bazę do można zapisać że
\(\displaystyle{ \text{ker}\left( \text{T}\right)=\text{lin}\left\{\begin{bmatrix} 2\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2\\0\\-1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3\\0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}\right\}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 96
- Rejestracja: 7 sty 2019, o 19:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 34 razy
- Pomógł: 4 razy
Re: Jądro przekształcenia a baza jądra
Dokładnie masz rację. Mój błąd przy przepisywaniu. Dzięki wielkie za pomoc