Jądro przekształcenia a baza jądra

[eldamiano22]

Mam przekształcenie liniowe:
\(\displaystyle{ T: \RR^{5} \rightarrow \RR^{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ T(x,y,z,u,v)=(x-2y-z+u+2v, 2x-4y+z+5u+7v)}\)

Mam wyznaczyć jądro przekształcenia i bazę jądra. Bazę jądra umiem wyznaczyć bo to trzeba rozwiązać układ równań. Problem polega na tym jak wyznaczyć jądro. Prosiłbym o wytłumaczenie.

Pozdrawiam

[Janusz Tracz]

Skoro masz bazę \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) jądra to \(\displaystyle{ \text{ker}\left( \text{T}\right)=\text{lin}\left\{\mathcal{B}\right\}}\). Nie jestem jednak pewien czy nie pomyliłeś pomyliłeś pojęć. Zazwyczaj najpierw łatwiej jest wyznaczyć jądro jako \(\displaystyle{ \text{ker}\left( \text{T}\right)=\left\{ \mathbf{x}\in\RR^5:\text{T}(\mathbf{x})=\mathbf{0}_{\in\RR^3} \right\}}\) a dopiero potem to przekształcić tak aby odczytać bazę.

[eldamiano22]

Wyszło mi takie coś. To jest jądro? A potem z tego wyznaczyć bazę?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2y-2u-3v\\y\\-u-v\\u\\v\end{bmatrix}}\)

[Kordyt]

Wyznaczając jądro po drodze wyznaczasz jego bazę. Z tego co otrzymałeś musisz sobie porozdzielać na sumę wektorów tak by w każdym był tylko jeden rodzaj niewiadomej, niewiadomą wyciągasz przed kazdy wektor a ponieważ one mają wartości dowolne w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) to wychodzi ci kombinacja liniowa pewnych wektorów, które same są bazą rozpinającą podprzestrzeń liniową będącą jądrem tego odwzorowania.

[eldamiano22]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2\\0\\-1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3\\0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}}\)

Zadanie wymaga ode mnie:
a) Wyznacz jądro \(\displaystyle{ Ker T}\)
b) Wyznacz bazę jądra \(\displaystyle{ Ker T}\)

co do czego wpisać?

[Kordyt]

Te 3 wektory tworzą bazę jądra.
Ich powłoka liniowa jest jądrem.

[eldamiano22]

Czyli jak zapisać poprawnie jądro?

[Janusz Tracz]

Z definicji powłoki liniowej i definicji jądra.

\(\displaystyle{ \text{ker}\left( \text{T}\right)=\left\{\begin{bmatrix} 2y-2u-3v\\y\\-u-v\\u\\v\end{bmatrix} : u,v,y\in\RR \right\}}\)

Obliczeń nie sprawdzam ale trzy parametry rzuciły mi się w oczy czy nie powinno być \(\displaystyle{ T: \RR^{5} \rightarrow \RR^{{\red{2}}}}\)-- 1 lut 2019, o 18:08 --No albo skoro już masz bazę do można zapisać że

\(\displaystyle{ \text{ker}\left( \text{T}\right)=\text{lin}\left\{\begin{bmatrix} 2\\1\\0\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -2\\0\\-1\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -3\\0\\-1\\0\\1\end{bmatrix}\right\}}\)

[eldamiano22]

Dokładnie masz rację. Mój błąd przy przepisywaniu. Dzięki wielkie za pomoc