Rzut ortogonalny

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
eldamiano22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 7 sty 2019, o 19:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 4 razy

Rzut ortogonalny

Post autor: eldamiano22 »

Punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są odpowiednio rzutami ortogonalnymi punktu \(\displaystyle{ C=\left(1,4,3\right)}\) na proste:

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{3}\quad\text{i}\quad\frac{x-1}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z+1}{1}}\)

Wyznaczyć punkty A i B .

Znalazłem to już pytanie na forum i na początek trzeba było znaleźć równania płaszczyzn prostopadłych do jednej i drugiej prostej, przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ C}\). Więc:

\(\displaystyle{ n=\left(2,1,3\right)}\)
\(\displaystyle{ C=\left(1,4,3\right)}\)

n to wektor prostopadły do prostej. Wychodzi:
\(\displaystyle{ \left(2,1,3\right)\left(x-1, y-4, z-3\right)}\)
\(\displaystyle{ 2\left(x-1\right)+\left(y-4\right)+3\left(z-3\right) = 0}\)

Tak samo dla drugiej płaszczyzny.

Teraz znajdujemy punkt "przebicia" płaszczyzny z prostą:

Z pierwszej prostej mamy:
\(\displaystyle{ x = 1+2t}\)
\(\displaystyle{ y = -1+t}\)
\(\displaystyle{ z = 3t}\)

Podstawiamy pod równanie płaszczyzny:

\(\displaystyle{ 2\left(1+2t-1\right)+\left(-1+t+4\right)+3\left(3t-3\right)=4t+3+t+9t-9=14t-6}\)
\(\displaystyle{ 14t-6=0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{3}{7}}\)

Podstawiamy teraz t pod równania z prostej i wychodzi punkt \(\displaystyle{ A\left(1\frac{6}{7}, -\frac{4}{7}, \frac{9}{7}\right)}\)

I tak samo dla punktu B
Czy zadanie zostało wykonane poprawnie?
Pozdrawiam
ODPOWIEDZ