Wyznaczyć macierze odwzorowań

[max07]

Wyznaczyć macierze odwzorowań \(\displaystyle{ S: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3}\) oraz \(\displaystyle{ T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3}\) zadanych następująco:
\(\displaystyle{ S([x, y]) = [3x+2y, x+3y, x-y], \ \ \ T([x, y, z]) = [x-2y+z, 2x+y-z, y-3z]}\)
sprawdzić czy odwzorowanie \(\displaystyle{ T}\) jest odwracalne, jeśli tak, to wyznaczyć do niego odwrotne. Wyznaczyć macierz złożenia \(\displaystyle{ T^{-1} \circ S}\)

Wyznaczanie macierzy odwzorowań:
Więc macierze odwzorowań można wyznaczyć bazami kanonicznymi
dla \(\displaystyle{ S}\)
przy bazach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)
\(\displaystyle{ e_1=(1,0), e_2=(0,1)}\)
w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)
\(\displaystyle{ e_1'=(1,0,0),e_2'=(0,1,0),e_3'=(0,0,1)}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&2\\1&3\\1&-1\end{bmatrix}}\)


dla \(\displaystyle{ T}\)
przy bazach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)
\(\displaystyle{ e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)}\)
w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)
\(\displaystyle{ e_1'=(1,0,0),e_2'=(0,1,0),e_3'=(0,0,1)}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&1\\2&1&-1\\0&-1&-3\end{bmatrix}}\)


sprawdzanie czy \(\displaystyle{ T}\) jest odwracalne:
1. Wyznacznik różny od \(\displaystyle{ 0}\) OK
2. Macierz jest kwadratowa OK

Więc T jest odwracalne

Wyznaczanie odwzorowania odwrotnego do \(\displaystyle{ T}\) (czyli odwracanie macierzy odwzorowania?):
\(\displaystyle{ T^{-1}= -\frac{1}{12} \begin{bmatrix} -2&-5&1\\6&-3&3\\2&-1&5\end{bmatrix}}\)

macierz złożenia:
W tym przypadku wystarczy pomnożyć \(\displaystyle{ T^{-1}}\) i \(\displaystyle{ \ S}\), bo zgadzają się bazy, wymiar itd.


Czy takie rozwiązanie jest poprawne?

[janusz47]

Sprawdzenie, czy odwzorowanie \(\displaystyle{ T}\) jest odwracalne wyznacznik różny od zera (popraw literówkę).

Rozwiązanie zadania poprawne.