Wyznaczenie bazy, wymiaru oraz macierzy przekształcenia

[ncpa_cpl]

Mam dwa zadania z którymi nie mogę sobie poradzić.
1. Wyznacz bazę i wymiar
\(\displaystyle{ V = \left\{ax^{3} + bx^{2} + cx +d \in \RR[x] _{3}: 5a+4b+c+2d=4a+3b+c+d=0 \right\}}\)
tutaj wyliczam \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\):
\(\displaystyle{ a = 2d - c \\
b = c - 3d}\)
podstawiam, wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} + cx +d = -cx ^{3} + cx ^{2} + cx + 2dx^{3} - 3dx^{2} +d}\)
i nie wiem co z tym dalej zrobić.

2. Znajdź macierz przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \varphi : \RR[x]_{3} \rightarrow M_{2\times 2}(\RR)}\)
danego wzorem: \(\displaystyle{ \varphi (ax^{3}+bx^{2}+cx+d) = \left[
\begin{array}{cc}
a+2d & b\\
c-a & 2c
\end{array}
\right]}\)
w bazach \(\displaystyle{ \left\{ x^{3}, x^{2} + x, x+1, 1\right\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ \RR[x]_{3}}\) i
\(\displaystyle{ \left\{\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & 0
\end{array}
\right], \left[
\begin{array}{cc}
1 & 1\\
0 & 0
\end{array}
\right], \left[
\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & 0
\end{array}
\right], \left[
\begin{array}{cc}
1 & 1\\
1 & 1
\end{array}
\right]\right\}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ M_{2\times 2}(\RR)}\)

Muszę się przyznać że nic nie rozumiem jeżeli chodzi o 2 zadanie. Bardzo prosiłbym o wytłumaczenie jak dla dziecka.

[a4karo]

Wsk do 2
\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=ax^3+b(x^2+x)+(c-b)(x+1)+d+b}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}p&q\\r&s\end{bmatrix}=p\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}+q\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}+r\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}}\) a te macierze łatwo wrazić zadanej bazie \(\displaystyle{ M_{2\times 2}\{\RR\}}\)

np. \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}\)

[Janusz Tracz]

Wskazówka do 1.

Skoro \(\displaystyle{ ax^{3} + bx^{2} + cx +d = -cx ^{3} + cx ^{2} + cx + 2dx^{3} - 3dx^{2} +d}\) to \(\displaystyle{ V}\) jest zbiorem postaci

\(\displaystyle{ \left\{-cx ^{3} + cx ^{2} + cx + 2dx^{3} - 3dx^{2} +d : c,d\in\RR
\right\}}\)

A to można zapisać jako \(\displaystyle{ \text{lin}\left\{ -x^3+x^2+x, 2x^3-3x^2+1\right\}}\) pokazując, że te dwa wielomiany są liniowo niezalężone powiedzieć będzie można, że są bazą oraz wymiar policzyć liczną liczność tej bazy.

[ncpa_cpl]

Bardzo proszę o pomoc z zadaniem drugim, nadal nie wiem jak się za to zabrać, od czego zacząć?