diagonalizowalność macierzy

[amadeusz002]

Witam, mam taką o to macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&0&-3\\3&2&3\\-3&0&-1\end{bmatrix}}\)
i musze zbadać czy jest ona diagonalizowalna. Macierz jest macierzą endomorfizmu \(\displaystyle{ f}\) w bazie kanonicznej. Endomorfizm miał taką postać: \(\displaystyle{ (x,y,z)\mapsto(-x-3z,3x+2y+3z,-3x-z)}\) . Po wstawieniu lambdy i policzeniu wyznacznika, wychodzą mi dwie wartości: \(\displaystyle{ 2}\) kr.\(\displaystyle{ 2}\) oraz \(\displaystyle{ -4}\) kr.\(\displaystyle{ 1}\) . Teraz po wstawieniu \(\displaystyle{ \lambda=2}\) dostaję taką macierz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -3&0&-3\\3&0&3\\-3&0&-3\end{bmatrix}}\)

i wychodzi, że macierz nie jest diagonalizowalna ponieważ kr. \(\displaystyle{ 2}\) , a ma tylko jeden wektor własny. Czy to jest dobrze zrobione czy gdzieś popełniłem błąd? Jest to zadanie z egzaminu i jeżeli macierz okaże się diagonalizowalna to są jeszcze dalsze polecenia dlatego wątpie, żeby powinno wyjść, że macierz nie jest diagonalizowalna.

[Tmkk]

Ta ostatnia macierz ma dwa wektory w jądrze: \(\displaystyle{ \left[ 0,1,0\right]}\) oraz \(\displaystyle{ \left[ 1,0,-1\right]}\), więc jest diagonalizowalna.

[amadeusz002]

Skąd się wziął wektor \(\displaystyle{ [0,1,0]}\)? Wydawało mi się, że \(\displaystyle{ y=0}\)jeżeli potraktujemy tą macierz jako równania o 3 niewiadomych\(\displaystyle{ x,y,z}\) . Skoro kolumna odpowiedzialna za niewiadomą y jest wyzerowana to traktuje y jako parametr? i rozdzielam jako wektor \(\displaystyle{ [0,1,0]}\)??

[Tmkk]

Wektory własne to jądro tej macierzy, czyli tak jak mówisz, równania o \(\displaystyle{ 3}\) niewiadomych, które wyglądają następująco:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -3x - 3z = 0 \\ 3x + 3z = 0 \\ -3x - 3z = 0 \end{cases}}\)

układ upraszcza się do \(\displaystyle{ x=-z}\). O \(\displaystyle{ y}\) nic nie mamy powiedziane (na pewno nie, że \(\displaystyle{ y=0}\)), może więc być dowolny.

Rozpisać to można na przykład tak (uwzględniając te równania):
\(\displaystyle{ (x,y,z) = (x,y,-x) = x(1,0,-1) + y(0,1,0)}\).
Stąd mamy te \(\displaystyle{ 2}\) wektory o których mowa.