Baza sprzężona, funkcjonały, zrozumieć

[Zaratustra]

Jak zareagować na polecenie: "Znaleźć bazę sprzężoną z bazą \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) przestrzeni \(\displaystyle{ V}\)".
Np. mam: \(\displaystyle{ \mathcal{A}=\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right)}\) i \(\displaystyle{ V=\mathbb{R}^2}\).
\(\displaystyle{ \mathcal{A}^*=(\alpha_1^*, \alpha_2^*)}\), gdzie
\(\displaystyle{ \alpha_1^*\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right)=1}\), \(\displaystyle{ \alpha_1^*\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right)=0}\).
\(\displaystyle{ \alpha_2^*\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right)=0}\), \(\displaystyle{ \alpha_2^*\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right)=1}\).
(z definicji i twierdzeń z wykładu)
Ale zakładam, że mam jakiś jawny wzór wyznaczyć na \(\displaystyle{ \alpha_1^*}\), \(\displaystyle{ \alpha_2^*}\)? Bo inaczej co tu robić
Niech \(\displaystyle{ f\in (\mathbb{R}^2)^* \Rightarrow f=f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right)\alpha_1^* + f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right)\alpha_2^*}\).
\(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{R}^2 \Rightarrow \alpha = x\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ x, y\in\mathbb{R}}\).
\(\displaystyle{ f\left(x\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) =f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right)\alpha_1^*\left( x\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) + f\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right)\alpha_2^*\left( x\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right)=}\)
\(\displaystyle{ =xf\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right) + yf\left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right)}\) - żaden wniosek - \(\displaystyle{ f}\) jest prz. lin. to wiadomo, że tak jest.
\(\displaystyle{ f\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\right)}\) i \(\displaystyle{ \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right)}\) to współrzędne, ale \(\displaystyle{ x,y}\) zależą od \(\displaystyle{ \alpha}\) więc nie mogą być wektorami bazy (i byłyby to funkcje stałe...). Nie czuję tego działu a bardzo krótko/szybko to przerabialiśmy Jeśli tu widać jakieś błędy w rozumieniu co-jest-czym albo coś to proszę skorygujcie mnie